最小二乘支持向量机的对偶问题

最小二乘支持向量机（Least Squares Support Vector Machine, LSSVM）是一个基于核方法的线性模型，它的主要目标是找到一个决策边界，使得数据点到这个边界的距离平方和最小，同时最大化类别间隔。LSSVM通常用于解决非线性问题，通过使用核技巧将其转化为线性可解的形式。

对偶问题在优化中起着关键作用，特别是在支持向量机中，特别是SVM（包括最小二乘版本）。原始的LSSVM优化问题是求解一个凸二次规划问题，但其对偶形式通常更易于求解，并且在某些情况下可以提供更好的理论分析和计算效率。

对偶问题将原问题从硬间隔约束转换为软间隔，引入了拉格朗日乘子。原始的LSSVM优化问题可以表示为：

\[
\min_{w, b, \xi} \frac{1}{2} w^T w + C \sum_i \xi_i
\]
其中 \( w \) 是权重向量，\( b \) 是偏置，\( \xi_i \) 是松弛变量，\( C \) 是惩罚参数，用于平衡误分类的影响和模型复杂度。

对偶问题则是寻找拉格朗日乘子 \( \alpha \) 来最大化以下函数，同时满足一定的KKT条件：

\[
\max_{\alpha} \frac{1}{2} \sum_{i, j} y_i y_j K(x_i, x_j) - \sum_i \alpha_i
\]
其中 \( K(\cdot, \cdot) \) 是核函数，\( y_i \) 是第 \( i \) 个样本的标签（-1 或 1）。

对偶问题的最优解 \( \alpha \) 可以通过SVM的优化算法（如SMO或 Platt 层次下降）得到，而原始问题的解 \( w \) 和 \( b \) 可以通过 \( \alpha \) 计算得出，这是著名的 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件的体现。