设Hn=hij是hilbert矩阵，即hij=1/(i+j-1),对于n=10,11,...,15,取x=(1 1 ... 1)，令bn=Hn*x,再用Guass消去法和Cholesky分解方法来求解Hn*y=bn,看看误差有多大

要演示如何使用Guass消元法（Gaussian elimination）和Cholesky分解来解决这个问题，我们首先需要构建Hilbert矩阵Hn，然后设置向量x，接着计算bn = Hn * x，最后应用这两种方法找到y。

**步骤1**: 构建Hilbert矩阵Hn (这里是n=10到15)

import numpy as np

# Hilbert matrix for n=10 to 15
for n in range(10, 16):
    hilb_n = 1 / ((np.arange(1, n+1).reshape(-1, 1) + np.arange(1, n+1)).astype(float) - 1)
    print(f"H{n}:")
    print(hilb_n)

**步骤2**: 设置向量x (全1向量)

x = np.ones(n)

**步骤3**: 计算bn = Hn * x

bn = np.dot(hilb_n, x)

**步骤4**: 使用Gauss消元法求解Hn * y = bn

from scipy.linalg import solve

y_gauss = solve(hilb_n, bn)

**步骤5**: 使用Cholesky分解求解

from scipy.sparse.linalg import cho_factor, cho_solve

L = cho_factor(hilb_n)
y_cholesky = cho_solve(L, bn)

**误差评估**:
现在我们可以比较y_gauss和y_cholesky与原始的bn的差来评估误差：

error_gauss = np.linalg.norm(bn - np.dot(hilb_n, y_gauss))
error_cholesky = np.linalg.norm(bn - np.dot(hilb_n, y_cholesky))

print(f"Error using Gaussian elimination: {error_gauss}")
print(f"Error using Cholesky decomposition: {error_cholesky}")