设Hn=hij是hilbert矩阵，即hij=1/(i+j-1),对于n=10,11,…,15,取x=(1 1 … 1)，令bn=Hn*x,再用Guass消去法和Cholesky分解方法来求解Hn*y=bn,最后用正则化方法改善误差

为了演示如何使用Gauss消元法（LU分解）和Cholesky分解以及正则化方法来解决这个问题，我们将按照以下步骤操作：

1. **定义Hilbert矩阵**[^1]:

   from scipy.linalg import hilbert

   n = 10
   H_n = hilbert(n)

2. **设置初始向量x**:

   x = np.ones(n)
   b_n = H_n @ x

3. **Gauss消元法（LU分解）**:

   from scipy.linalg import lu

   P, L, U = lu(H_n)
   y = np.zeros(n)
   for i in range(n):
       if i == 0:
           y[i] = b_n[i] / U[i, i]
       else:
           y[i] = (b_n[i] - np.dot(L[:, :i], y[:i])) / U[i, i]

4. **Cholesky分解**:

   try:
       L_chol = cholesky(H_n, lower=True)
   except LinAlgError:
       print("Matrix not positive definite for Cholesky decomposition.")
   else:
       y_chol = solve_triangular(L_chol, b_n, lower=True)

5. **正则化（如果必要）**:
这里我们通常不直接应用正则化到Hilbert矩阵上，因为它通常是满秩的。但如果你遇到数值不稳定的情况，可以考虑添加Tikhonov正则化（L2范数），例如：

   lambda_reg = 1e-6
   I = eye(n)
   H_n_regularized = H_n + lambda_reg * I
   y_regularized = inv(H_n_regularized) @ b_n

请注意，由于Hilbert矩阵随着尺寸增大而变得越来越稀疏且具有低秩近似性质，实际计算可能会非常耗时且有潜在的数值稳定性问题。以上代码仅作示例，实际应用可能需要优化。