设Hn=hij是hilbert矩阵，即hij=1/(i+j-1),对于n=10,11,…,15,取x=(1 1 … 1)，令bn=Hnx,再用Guass消去法和Cholesky分解方法来求解Hny=bn,最后用正则化方法改善误差，使用C++写出代码

为了演示如何使用C++实现希尔伯特矩阵与向量的乘法以及求逆操作（包括Gauss消元法、Cholesky分解和正则化），我们将分步骤编写代码。请注意，希尔伯特矩阵的计算可能会导致数值不稳定，尤其是当矩阵维度较大时。这里仅给出核心部分的代码示例。

首先，我们定义一个函数来生成希尔伯特矩阵：

#include <vector>
#include <Eigen/Dense>

// 希尔伯特矩阵生成函数
Eigen::MatrixXd hilbertMatrix(int n) {
    Eigen::MatrixXd H(n, n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            H(i, j) = static_cast<double>(1.0 / (i + j - 1));
    return H;
}

接着，我们将向量`x`初始化为全1向量，并计算`H * x`：

// 向量x初始化为全1向量
std::vector<double> x(n, 1.0);

// 计算H * x
Eigen::VectorXd b(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    double sum = 0.0;
    for (int j = 0; j < n; ++j)
        sum += H(i, j) * x[j];
    b[i] = sum;
}

接下来，我们可以使用Gauss消元法求解`H * y = b`。然而，由于希尔伯特矩阵不适合直接应用Gauss消元，这里可以先尝试Cholesky分解：

// 使用Cholesky分解求解
Eigen::LLT<Eigen::MatrixXd> chol_decomp(H);
chol_decomp.compute();
Eigen::MatrixXd L = chol_decomp.matrixL();
Eigen::VectorXd y = L.lu().solve(b);

如果Cholesky分解失败（因为希尔伯特矩阵可能不是半正定的），我们可以考虑正则化方法。一个简单的选择是添加一个小常数到矩阵元素以提高稳定性：

// 正则化矩阵并重新求解
double epsilon = 1e-12;
H += epsilon * Eigen::MatrixXd::Identity(n, n);
Eigen::LLT<Eigen::MatrixXd> chol_decomp_reg(H);
chol_decomp_reg.compute();
Eigen::MatrixXd L_reg = chol_decomp_reg.matrixL();
Eigen::VectorXd y_reg = L_reg.lu().solve(b);

注意，这只是一个基本的示例，实际应用中可能需要更复杂的算法来处理数值稳定性问题。此外，Cholesky分解只适用于对称正定矩阵，而希尔伯特矩阵通常不是对称的。对于非对称矩阵，一般会使用LU分解或其他更适合的方法。