运用运筹学知识给出这道题的线性规划：某工厂要制造机床10台，需要截面为63.5×4的钢管，每台机床需要长2640mm的钢管8根，1651mm 的35根，1770mm的42根，1440mm的20根，原材料只有长为5500mm 的钢管一种规格，怎样下料最省?

这道题可以建立如下的线性规划模型：

目标函数：最小化原材料的浪费

约束条件：
1. 每台机床需要的钢管总长度必须等于给定长度
2. 切割后每根钢管的长度必须不小于所需长度
3. 切割后每根钢管必须是整数根

具体地，假设我们需要切割的5500mm钢管数量为x，则目标函数可以表示为：

minimize x * (5500 - (8*2640 + 35*1651 + 42*1770 + 20*1440))

约束条件可以表示为：

8 * (63.5 + 2*4) * y1 + 35 * (63.5 + 2*4) * y2 + 42 * (63.5 + 2*4) * y3 + 20 * (63.5 + 2*4) * y4 <= x * 5500
y1 >= 8
y2 >= 35
y3 >= 42
y4 >= 20
y1, y2, y3, y4都为整数

其中，y1, y2, y3, y4分别表示切割出来的长度为2640mm、1651mm、1770mm、1440mm的钢管数量。

这个线性规划模型可以通过线性规划求解器求解，得到最优方案。

相关问题

运用运筹学知识给出这道题的线性规划：用8m长的角钢原材料切割钢窗用料100副，每副钢窗需要2根长1.5m的料，2根1.45m，3根1.3m，12根0.35m，试安排下料方式，使所需8m角钢原材料最少.

假设我们需要 $x_1$ 个 8m 角钢原材料来制作 1.5m 的料，$x_2$ 个 8m 角钢原材料来制作 1.45m 的料，$x_3$ 个 8m 角钢原材料来制作 1.3m 的料，$x_4$ 个 8m 角钢原材料来制作 0.35m 的料。

我们的目标是要最小化所需的 8m 角钢原材料的数量，因此目标函数可以表示为：

$$
\text{Minimize} \quad z = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
$$

同时，我们需要满足钢窗用料的需求。每副钢窗需要 2 根长 1.5m 的料，2 根 1.45m 的料，3 根 1.3m 的料，12 根 0.35m 的料。因此，我们可以得到以下约束条件：

$$
\begin{aligned}
2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 12x_4 &\geq 100 \quad \text{(1.5m)} \\
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 &\geq 0 \quad \text{(1.4m)} \\
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 &\geq 0 \quad \text{(1.3m)} \\
0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 &\geq 0 \quad \text{(0.35m)} \\
\end{aligned}
$$

因为我们不能使用负数的材料，所以每个决策变量 $x_i$ 都必须大于或等于零：

$$
x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0
$$

这样，我们就可以得到这个线性规划模型：

$$
\begin{aligned}
\text{Minimize} \quad z &= x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \\
\text{subject to} \quad
2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 12x_4 &\geq 100 \\
x_1, x_2, x_3, x_4 &\geq 0
\end{aligned}
$$

这个模型可以使用线性规划求解器来求解，得到最小值和最优解。

计算机规划求解问题,运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解 (1)

一、实验目的

1.了解线性规划问题及其基本概念；

2.掌握线性规划问题的求解方法和基本步骤；

3.熟悉线性规划问题的计算机求解过程；

二、实验内容

1.了解线性规划问题及其基本概念

线性规划问题是指在一定的约束条件下，求一组线性目标函数的最大值或最小值。线性规划问题的基本形式如下：

$$\max_{x} c^{T} x$$

$$s.t. Ax \leq b, x \geq 0$$

其中，$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$表示决策变量向量，$c=(c_1,c_2,\cdots,c_n)^T$表示目标函数系数向量，$A$为$m\times n$的系数矩阵，$b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$为约束条件右端向量。

2.掌握线性规划问题的求解方法和基本步骤

线性规划问题的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。本实验采用单纯形法进行求解。

线性规划问题的基本步骤如下：

（1）列出线性规划问题的标准形式。

（2）构造初始单纯形表。

（3）进行单纯形迭代计算，直到得到最优解或无界解。若得到最优解，则停止计算；否则，进行下一步。

（4）判断无界解或无可行解的情况。

3.熟悉线性规划问题的计算机求解过程

本实验采用MATLAB软件进行线性规划问题的计算机求解。

三、实验步骤

1.打开MATLAB软件，新建一个m文件，并输入以下代码：

% 线性规划问题的计算机求解

% 目标函数系数向量
c = [-3 -2];

% 约束条件左端矩阵
A = [1 2; 1 -1; 2 1];

% 约束条件右端向量
b = [6; 1; 8];

% 求解线性规划问题
[x, fval, exitflag] = linprog(c, -A, -b)

% 输出结果
disp(['最优解为：', num2str(x')])
disp(['目标函数的最小值为：', num2str(-fval)])

2.保存文件，命名为“linear_programming.m”，并运行程序。

3.观察运行结果，掌握线性规划问题的计算机求解过程。

四、实验结果分析

通过以上实验步骤，我们可以得到线性规划问题的计算机求解结果。本实验中，求解得到的最优解为$x=(2, 4)$，目标函数的最小值为$-10$。

五、实验总结

本实验通过MATLAB软件进行线性规划问题的计算机求解，掌握了线性规划问题的求解方法和基本步骤，熟悉了线性规划问题的计算机求解过程。