证明快速幂算法的正确性
时间: 2023-11-10 07:42:20 浏览: 38
快速幂算法是一种用来求解大数取模的算法,其基本思想是将指数不断折半,从而使得指数的计算量大大降低。快速幂算法的正确性可以通过数学归纳法来证明。
假设我们要计算 $a^b \mod c$,其中 $a, b, c$ 均为正整数,且 $b$ 的二进制表示为 $b_k b_{k-1} \cdots b_1 b_0$,则有:
$$
a^b \mod c = a^{b_k 2^k + b_{k-1} 2^{k-1} + \cdots + b_1 2 + b_0} \mod c
$$
根据模运算的性质,我们可以将上式改写为:
$$
a^b \mod c = [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot a^{b_0} \mod c
$$
接下来,我们可以定义 $x_i = [a^{2^i}]^{b_i} \mod c$,则有:
$$
a^b \mod c = x_k \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot x_0 \mod c
$$
现在我们可以利用数学归纳法证明快速幂算法的正确性。当 $k=0$ 时,显然有 $a^b \mod c = a^{b_0} \mod c = a^{2^0 b_0} \mod c = a^{2^0} \mod c = a \mod c$,因此快速幂算法在这种情况下是正确的。
假设当 $k \leq n$ 时,快速幂算法都是正确的,则当 $k=n+1$ 时,我们有:
$$
\begin{aligned}
a^b \mod c &= x_k \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot x_0 \mod c \\
&= [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot a^{b_0} \mod c \\
&= [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot [a^2]^{b_0 \div 2} \cdot [a^2]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^k}]^{b_k} \cdot [a^{2^{k-1}}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot [a^{2}]^{b_0 \div 2} \cdot [a^{2}]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot [a^{2^k}]^{b_{k-1}} \cdots [a^2]^{b_1} \cdot [a^{2}]^{b_0 \div 2} \cdot [a^{2}]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot [a^{2}]^{b_0 \div 2} \cdot [a^{2}]^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot a^{b_0 \div 2} \cdot a^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot (a^{2})^{b_0 \div 2} \cdot a^{b_0 \bmod 2} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot a^{b_0} \mod c \\
&= [a^{2^{k+1}}]^{b_k} \cdot x_{k-1} \cdots x_1 \cdot x_0 \mod c
\end{aligned}
$$
因此,我们证明了当 $k=n+1$ 时快速幂算法的正确性。由数学归纳法可以得出,快速幂算法对于任何 $k$ 均是正确的。因此,我们证明了快速幂算法的正确性。