求x乘以e的2x方的不定积分

我们可以用分部积分法来求解这个不定积分。

令 $u = x$，$dv = e^{2x^2}dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x)$，其中 $\operatorname{erfi}(x)$ 表示复误差函数。

根据分部积分公式，有：

$$\int x e^{2x^2} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}x\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) - \int \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) dx$$

对于 $\int \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) dx$，我们令 $\sqrt{2}x = t$，则有 $dx = \frac{dt}{\sqrt{2}}$，原式变为：

$$\int \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) dx = \frac{1}{4}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(t) + C'$$

其中 $C'$ 为常数。

回代得：

$$\begin{aligned}\int x e^{2x^2} dx &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}x\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) - \int \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\pi}x\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) - \frac{1}{4}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) + C\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) + \frac{\sqrt{2}}{4}x e^{2x^2} + C\end{aligned}$$

其中 $C = C' - \frac{1}{4}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(0)$ 为常数。

因此，$x e^{2x^2}$ 的不定积分为：$\frac{1}{4}\sqrt{\pi}\operatorname{erfi}(\sqrt{2}x) + \frac{\sqrt{2}}{4}x e^{2x^2} + C$。