设容器壁上液体表面下深为h的位置P处，有一个孔口，它的面积为g，那么根据托里斯利(Tomricelli)原理，液体在P处的水平流速v就用公式v=根号2gh来表示，通过灌注液体的办法，可以使h保持不变，那么在孔口处流速为常数。于是单位时间内通过g流出的液体量(密度设为1)等于gv，其中v是孔口某点P处的平均速度，今设孔口是铅直于底且是xOy面上的域(D)。如何求单位时间内通过孔口D的总流量Q？利用无穷级数给出答案，并且采取数学方法表示

根据题意，单位时间内通过孔口D的总流量Q等于孔口某点P处的平均速度v乘以孔口面积g，即：

$$
Q = gv
$$

要求出平均速度v，可以利用流量守恒定律，即单位时间内通过任何横截面的流量相等。因此，我们可以在液面上方选取一段长度为L的横截面CD，如图所示：

<img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210723141102943.png" width="300" />

假设时间为t，液体在横截面CD上的体积为V(t)，则有：

$$
V(t) = gLh
$$

根据流量守恒定律，单位时间内通过横截面CD的流量等于单位时间内通过孔口D的流量，即：

$$
\frac{dV}{dt} = gv
$$

对上式两边求导，得到：

$$
\frac{d^2V}{dt^2} = g\frac{dv}{dt}
$$

根据托里斯利原理，有：

$$
v = \sqrt{2gh}
$$

将上式代入上式，得到二阶常系数齐次线性微分方程：

$$
\frac{d^2V}{dt^2} - kV = 0
$$

其中，$k = g\sqrt{2h}/L$。

设$V(t) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\sin(\frac{n\pi}{T}t)$是方程的解，其中$T=2\pi/\sqrt{k}$是周期，$a_n$是待定系数。将$V(t)$代入方程，得到：

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left(-\frac{n^2\pi^2}{T^2}\right)\sin(\frac{n\pi}{T}t) - k\sum_{n=0}^{\infty}a_n\sin(\frac{n\pi}{T}t) = 0
$$

对上式两边同时乘上$\sin(\frac{m\pi}{T}t)$并在一个周期内积分，得到：

$$
\begin{aligned}
&\int_0^T\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left(-\frac{n^2\pi^2}{T^2}\right)\sin(\frac{n\pi}{T}t)\sin(\frac{m\pi}{T}t)dt \\
&-k\int_0^T\sum_{n=0}^{\infty}a_n\sin(\frac{n\pi}{T}t)\sin(\frac{m\pi}{T}t)dt = 0
\end{aligned}
$$

根据正交性原理，当$m=n$时，

$$
\int_0^T\sin^2(\frac{n\pi}{T}t)dt = \frac{T}{2}
$$

当$m\neq n$时，

$$
\int_0^T\sin(\frac{n\pi}{T}t)\sin(\frac{m\pi}{T}t)dt = 0
$$

因此，上式化简为：

$$
\begin{aligned}
&\frac{T}{2}a_m\left(-\frac{m^2\pi^2}{T^2}\right) -k\frac{T}{2}a_m = 0 \\
\Rightarrow &a_m = 0 \text{ 或 } a_m = \frac{2ghL}{\pi^2}\frac{1}{m^2-\frac{T^2}{4\pi^2}k}
\end{aligned}
$$

因此，$V(t)$的表达式为：

$$
V(t) = \frac{2ghL}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-\frac{T^2}{4\pi^2}k}\sin(\frac{n\pi}{T}t)
$$

在一个周期内，平均速度等于零。因此，我们需要求解出一个周期内的总流量。一个周期的时间为$T=2\pi/\sqrt{k}$，因此一个周期内的总流量为：

$$
\begin{aligned}
Q &= \int_0^T gv(t)dt \\
&= \int_0^T g\sqrt{\frac{2h}{L}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-\frac{T^2}{4\pi^2}k}\sin(\frac{n\pi}{T}t)dt \\
&= \frac{2g\sqrt{2h}L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-\frac{T^2}{4\pi^2}k}\int_0^T\sin(\frac{n\pi}{T}t)dt \\
&= \frac{2g\sqrt{2h}L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-\frac{T^2}{4\pi^2}k}
\end{aligned}
$$

因此，单位时间内通过孔口D的总流量为$Q'=Q/T=\frac{2g\sqrt{2h}L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-\frac{T^2}{4\pi^2}k}$，即：

$$
Q' = \frac{2g\sqrt{2h}L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2-\frac{g2h}{\pi^2L}n^2}
$$