以工业机器人为对象,编写一道关于矢量积的高中数学应用题,并给出详细解答
时间: 2024-05-29 17:11:30 浏览: 14
一家工厂的生产线上安装了一台工业机器人,该机器人能够在三维空间内移动并执行任务。现在,该机器人需要将一个重量为 $5$ 千克的物品从点 $A(1,2,3)$ 搬运到点 $B(4,5,6)$,并将其旋转 $90^\circ$ 后放置在点 $C(7,8,9)$ 上。设该机器人的抓手长度为 $L=10$ 厘米,抓手能够移动到的最远距离为 $D=15$ 厘米。问该机器人是否能够完成该任务?
解析:
首先,我们可以根据两点之间的距离公式求出点 $A$ 和点 $B$ 之间的距离为:
$$
d_{AB}=\sqrt{(4-1)^2+(5-2)^2+(6-3)^2}=\sqrt{27}
$$
然后,我们需要确定机器人能否够到达点 $B$。由于机器人的抓手长度为 $L=10$ 厘米,抓手能够移动到的最远距离为 $D=15$ 厘米,因此,机器人能够到达的最远距离为 $L+D=25$ 厘米。而点 $A$ 和点 $B$ 之间的距离为 $\sqrt{27}\approx5.2$ 厘米,因此,机器人可以到达点 $B$。
接下来,我们需要确定机器人是否能够将物品旋转 $90^\circ$ 后放置在点 $C$ 上。假设机器人抓住物品后,将其向量表示为 $\vec{v}$,则机器人需要将 $\vec{v}$ 旋转 $90^\circ$ 得到一个新的向量 $\vec{w}$,使得 $\vec{w}$ 的起点为点 $B$,终点为点 $C$。由于 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 是垂直的,因此,我们可以通过计算矢量积来求解 $\vec{w}$。
设 $\vec{a}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$,$\vec{b}=\vec{BC}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$,则 $\vec{v}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$,$\vec{w}=\vec{AB}\times\vec{BC}$。根据矢量积的定义,有:
$$
\vec{w}=\vec{AB}\times\vec{BC}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
$$
由此可知,$\vec{w}$ 的长度为 $0$,因此,机器人无法将物品旋转 $90^\circ$ 放置在点 $C$ 上。
综上所述,该机器人无法完成该任务。
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