以工业机器人为对象，编写一道关于泰勒展开式的高中数学应用题，并给出详细解答

好的，以下是题目和解答：

题目：

一家工厂使用工业机器人进行生产。该机器人的运动轨迹可以用以下的泰勒展开式进行描述：

$x(t)=2+4t-3t^2+2t^3+…$

其中，$x(t)$表示机器人的位移，$t$表示时间，$…$表示未知的其他项。

请你回答以下问题：

1.如果机器人在$t=1$时刻停下来，求它此时的位移。

2.如果机器人需要在$t=1$时刻到达距离初始位置$10$米的地方，求它需要行进的时间。

解答：

1. 因为机器人在$t=1$时刻停下来，所以$x(1)$表示它此时的位移。根据泰勒展开式的定义，$x(1)$的值等于所有项的和，即：

$x(1)=2+4\times1-3\times1^2+2\times1^3+…$

由于未知项的系数和指数都不知道，无法求出$x(1)$的具体值。但是我们可以根据题目中的选项进行估算。因为$2+4\times1-3\times1^2+2\times1^3$已经等于$5$，而后面的项都是未知的，所以我们可以估算$x(1)$的值大概是$5$。答案：$x(1)\approx5$。

2. 因为机器人要到达$10$米的位置，所以我们需要找到一个时间$t$，使得$x(t)=10$。根据泰勒展开式的定义，$x(t)$的值等于所有项的和，即：

$x(t)=2+4t-3t^2+2t^3+…$

我们可以通过观察泰勒展开式的形式，发现它可以看做一个函数的级数展开式。因为该级数展开式是一个无穷级数，所以要想找到合适的$t$值，就需要取该级数展开式的前若干项进行求和，从而得到一个近似函数。我们设近似函数为$y(t)$，即

$y(t)=2+4t-3t^2+2t^3$

我们希望$y(t)$尽可能地接近$x(t)$，因此我们需要选择合适的项数。根据题目中的要求，我们选择前$3$项进行求和，得到近似函数为：

$y(t)=2+4t-3t^2+2t^3$

由于$y(t)$是一个多项式函数，因此我们可以直接求出它的导数：

$y'(t)=4-6t+6t^2$

因为机器人需要在$t=1$时刻到达$10$米的位置，所以我们可以设一个方程：

$y(1)+y'(1)\times(t-1)=10$

其中，$y(1)$表示机器人在$t=1$时刻的距离，$y'(1)$表示机器人在$t=1$时刻的速度，$(t-1)$表示机器人需要行进的时间。将$y(t)$和$y'(t)$带入方程中，解得：

$t\approx1.727$

答案：机器人需要行进的时间为$t\approx 1.727$秒。