高斯混合模型最大似然估计，有监督学习

### 高斯混合模型最大似然估计及其在有监督学习中的应用

#### 定义与背景
高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）是一种常用于聚类分析和密度估计的技术。该模型假设观测数据是从若干个不同的正态分布中抽取出来的，每个分量代表一个潜在类别或簇。为了拟合这样的多峰分布，可以采用极大似然估计法来优化参数。

#### 极大似然估计原理
给定一组独立同分布的数据集 \(X=\{x^{(1)},...,x^{(N)}\}\)，其中每一个\(x^{(i)}\)都是d维向量，则可以通过最大化下述目标函数来进行参数求解：

\[ \theta^* = argmax_\theta \sum_{i=1}^{N} log p(x^{(i)}|\theta)\]

这里，\(p(x^{(i)} | θ )\)表示单个样本属于某个特定高斯组件的概率密度值；而整个表达式的含义就是寻找能使所有观察到的数据点联合概率最大的那一组参数设置。\(^{[1]}\)

当我们将这个概念延伸至半监督场景时，意味着不仅利用已标记实例的信息，还会考虑未标注部分的影响。具体来说，在计算似然度的过程中会综合考量两类对象：一是那些已经知道确切分类标签的目标变量y；二是未知归属情况下的隐含特征z。此时，损失函数可能被重新定义为包含两者的组合形式:

\[ L(\theta,\Phi;x,y)=−KL(qΦ(z|x)||pθ(z))+EqΦ(z|x)[logpθ(y|x,z)] ^{[5]} \]

这种做法允许算法更好地捕捉隐藏结构并提高泛化能力，尤其是在缺乏充分标注的情形下显得尤为重要。

然而需要注意的是，尽管上述公式看起来简单明了，但在实际操作过程中却面临着诸多挑战——比如局部最优陷阱、奇异矩阵等问题。为此人们提出了EM算法作为解决手段之一，通过迭代更新E步骤(E-step) 和M 步骤(M-step),逐步逼近全局最优点直至收敛为止。

from sklearn.mixture import GaussianMixture
import numpy as np

# 假设有如下带标签的数据 X_train (features), y_train(labels)
gmm = GaussianMixture(n_components=3, covariance_type='full')
gmm.fit(X_train[y_train != -1])  # 使用带有真实标签的数据进行初始化训练

def predict_proba_with_supervision(gmm, X_test, y_test):
    """预测测试集中各条记录归属于各个类别的条件概率"""
    n_samples, _ = X_test.shape
    proba_matrix = gmm.predict_proba(X_test)
    
    # 对于存在标签的情况调整权重
    labeled_indices = ~np.isnan(y_test).any(axis=1)
    adjusted_probas = []
    for i in range(len(proba_matrix)):
        if labeled_indices[i]:
            true_label_index = int(y_test[i])
            row_adjusted = np.zeros_like(proba_matrix[i])
            row_adjusted[true_label_index] = 1.
            adjusted_probas.append(row_adjusted)
        else:
            adjusted_probas.append(proba_matrix[i])

    return np.array(adjusted_probas)


probs = predict_proba_with_supervision(gmm, X_test, y_test)

此代码片段展示了如何在一个含有少量标注样例的任务里运用sklearn库实现GMM，并针对不同情形分别处理其输出结果。对于具有明确类别指示符的位置给予更高的置信水平，而对于缺失此类信息的地方则依赖原始预测得分。