多变量线性回归中的特征缩放在什么情况下使用？如果不适用特征缩放会导致怎样的结果？

在多变量线性回归中，如果特征之间的量纲不同，那么在进行梯度下降等优化算法时，会使得某些特征的权重更新速度过快，而使得其他特征缓慢更新，这会导致算法收敛速度变慢，甚至无法收敛，也会影响模型的预测能力。

为了解决这个问题，我们可以使用特征缩放，将所有特征都缩放到相同的尺度，常见的方法有标准化和归一化。在进行特征缩放时，我们可以将每个特征的数值减去该特征的均值，再除以该特征的标准差（标准化），或者将每个特征的数值减去该特征的最小值，再除以该特征的极差（归一化）。

如果不使用特征缩放，那么在优化算法中，某些特征的权重更新速度过快，可能会导致算法无法收敛，或者收敛到局部最优解，这会影响模型的预测能力。因此，特征缩放在多变量线性回归中是非常重要的一个步骤。

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2.多变量线性回归的假设模型是什么？假设模型里的是什么？是什么？怎样理解？

多变量线性回归的假设模型是：

hθ(x) = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn

其中，hθ(x)表示预测值，x表示输入的特征向量，θ表示模型的参数向量，n表示特征数量（不包括常数项θ0）。

在假设模型中，θ0是常数项，θ1,θ2,...,θn是特征的系数。模型的预测值hθ(x)是特征向量x的线性组合，每个特征都乘以它的系数，再加上常数项θ0。这个模型假设了特征与预测值之间存在线性关系，即特征的变化会直接影响预测值的变化。模型的目标是找到最优的参数θ，使得预测值hθ(x)与真实值y之间的误差最小。

可以通过多项式扩展、特征缩放等技巧对假设模型进行改进，以提高模型的预测性能。

正规方程求解多变量线性回归的公式是怎样的

对于多变量线性回归问题，我们可以使用正规方程方法求解模型的最优参数。具体而言，假设我们有 $m$ 个训练样本，每个样本有 $n$ 个特征，我们可以将所有的训练样本表示为一个 $m \times n$ 的矩阵 $X$，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。同时，我们还有一个 $m \times 1$ 的向量 $y$，表示每个样本的目标值。

则多变量线性回归的正规方程解为：

$$\theta = (X^T X)^{-1} X^T y$$

其中，$\theta$ 是一个 $n \times 1$ 的向量，表示模型的参数向量。需要注意的是，$X^T X$ 必须是一个可逆矩阵，否则无法求逆。在实际应用中，如果 $X^T X$ 不可逆，我们可以通过使用伪逆来求解模型参数。

使用正规方程求解多变量线性回归的优点是，它可以直接得到最优参数，无需进行迭代优化，因此速度比梯度下降等迭代算法快。同时，正规方程还可以避免梯度下降等迭代算法中可能出现的局部最优解问题。

需要注意的是，如果特征之间存在较大的相关性，那么 $X^T X$ 可能会接近于奇异矩阵，导致求逆之后数值不稳定。为了避免这个问题，可以使用特征缩放等方法来减小特征之间的相关性。