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混洗线性回归中协变量和响应的对应关系不确定的问题
64742联系我们X∈ ≫∈----广义混洗线性回归李斐然1藤原健2大仓文雄1松下康之1大坂大学2LINE Corporation摘要我们考虑了混洗线性回归问题,其中协变量和响应之间的对应关系是未知的。虽然现有的公式假设了理想的所有这些问题导致最近提出的线性回归的变体,即,混洗线性回归(SLR)问题。其目的是同时恢复数据和回归变量x之间的对应关系[28,45]。形式上,其目标函数被写为:所有数据片段都应该匹配的基本双射,这样的假设在现实世界的应用程序中几乎不成立minP∈Πή,x∈XPAx−b由于缺失数据或异常值。因此,在这项工作中,我们将洗牌线性回归的公式推广到更广泛的条件下,只有部分数据应该对应。此外,我们提出了一个非常简单而有效的优化算法,保证全局收敛性。不同的任务验证了所提出的方法的有效性。11. 介绍线性回归一直是解决科学和工程中参数估计问题的有力工具。在常规形式中,它被设计为估计给定配对数据的线性系统的参数。其目标函数写为2minAx−b2,(1)2其中P是来自离散有限集合Π的n维方置换矩阵,满足P1=PT1=1,Pij∈ {0,1},(3)其中1是全一向量,并且Pij表示P的第ij个条目。直观地,约束(3)在每个协变量Ai和响应bj之间的关系上带来一些似乎合理的性质:• Pij0,1确保Ai和bj绝对匹配或彼此完全独立。• 与二元性质一起,P1=PT1=1进一步保证了双射性,即,每个Ai和bj具有恰好一个匹配。SLR的这种普通公式要求{Ai}和{bj}的基数完全相同,并且它们都是内点。x∈X其中Rn×d(nd)和bRn分别表示协变量和响应的集合,x是属于集合的回归变量。还存在A和b之间的对应关系未知的情况例如,在诸如点云配准、形状匹配、透视n点和图像配准的计算机视觉任务中,回归变量x分别代表刚性变换、光谱映射、相机投影和变换矩阵.在这种情况下,点、顶点或像素之间的对应关系通常是未知的。类似的情况也出现在其他领域,例如数据科学中的数据去匿名化[25],考古学中的文物约会[12]以及信号处理中的抖动采样[281 源 代 码 可 以 在 https://github.com/SILI1994/Generalized-Shuffled-Linear-Regression找到。[2]不失一般性,我们假设欧几里得范数是一个度量。然而,这种要求在实践中很少得到满足由于缺失数据和异常值。因此,期望扩展SLR以很好地用于现实世界的应用。在这项工作中,我们将SLR推广到更广泛的情况下,其中协变量Ai和响应bj的基数可以不同,并且只有其中的一部分应该匹配。我们将SLR的这种广义设置表示为广义混洗线性回归(GSLR)。我们的贡献总结如下:• 我们提出了GSLR,SLR的一个广义的配方,使其适用于实际情况下,只有部分的数据应该对应。• 我们提出了一个非常简单而有效的算法与详细的理论分析优化。• 我们采用不同的例子来展示GSLR如何使计算机视觉任务受益,以实现最先进的精度。6475PY.ΣO∈≥∈2∈ ∉.Σ∈X接地-1P1 P2例如迭代最接近点(ICP)[3]及其变体,对于SLR问题是不可行的算法。详细地说,作为nn(P1)1个P-1P2Y2nn(P2)真相:NN:Y2P1 P2Y1Y2示于图1,基于它们的最近邻(NN)的匹配策略可以将点链接到多个查询或使其不匹配,这因此违反置换矩阵的一对一匹配约束。正如我们稍后将在SEC中展示的那样。5、正是这种违规行为阻止了他们图1:基于NN的对应策略可能会违反一对一的对应关系,要么将单个点分配给多个查询,要么留下不匹配的点。2. 相关工作在本节中,我们回顾与(G)SLR相关的现有技术并讨论相关技术和问题。SLR的一些开创性工作集中在可解性分析上。例如,Unnikr-ishnanet al. [37]证明对于给定的协变量集在无噪声情况下,若要得到回归变量x的唯一解,需要一个Rn×d,n2dPanan- jady等。[28]进一步提供了在噪声数据下唯一恢复的条件还有一项工作[19]为设计具有多项式时间复杂度的全局算法提供了理论指导然而,由于时间复杂度,它们仍然是不可分割的其他文献集中于实际解决SLR问题。例如,Abidet al.[1,2]通过将对应关系视为隐藏参数来建立蒙特卡罗期望最大化框架Zhang等人[45]通过用最大似然准则消除x来重新表述目标(2),这实际上导致二次分配问题(QAP)。还存在集中于目标(2)的简化版本的作品。例如,Ashwinet al. [27] 以 去 噪 问 题 的 方 式 整 体 估 计PTAxSlawski和Ben-David [34]假设只有少量数据是无序的,并提出通过L1范数对稀疏混洗属性进行建模基于相同的假设,他们后来建议通过稳健估计[35]拒绝不匹配的异常与这些假设理想的underlying双射的方法相反,我们的GSLR公式的目的是在一般情况下,只有部分数据应该对应。应用中的类似问题虽然SLR只是最近才正式制定[28],但问题本身已经在各种不同的方法中得到了近似处理。获得稳定准确的结果。对于解决方案,一些文献提出加强双射性。例如,Jinget al. [30]和Szymon [32]提出对称化配准过程;和Gold et al. [14]将分配矩阵转换为双随机矩阵以平衡对应的权重。然而,与我们的GSLR公式相反,这些尝试仍然不能保证严格的一对一对应。还存在通过最大化乘积空间中的核密度将匹配问题转换为线性分配问题(LAP)的工作[38,39],而它们的推广性由于假设协变量{Ai}和响应{bj}是部分对全部而不是部分对部分。抗差估计抗差估计的目的是减轻异常值对回归问题的影响实现这一点的一个流行工具是M估计量[36],它建议降低权重或完全拒绝可疑的离群值。稳健估计器的能力通常通过两个标准来评估,即崩溃点和效率[48]。具体地,击穿点,理论上上限为0。5,演示了在提供不正确的结果之前估计量可以容忍的离群值的比例效率,计算为由Cramer-Rao界提供的理论上最小方差的比率w.r.t.估计器的实际估计器代表估计器的质量。与QAPQAP的关系(例如,二阶图匹配[46])是另一个受置换约束的流行问题然而,与QAP不同,(G)SLR另外需要估计回归变量x。因此,将(G)SLR转换为QAP几乎是不可能的,除非最佳x可以由A、b和P明确表示[45](例如, 当xRd,我们可以通过以下方式从(G)SLR中消除xx=ATPTPA−1ATPTb)。然而,在一般情况其中x=Rd,这样的消除只能呈现粗略的结果,如[22]中所述。3. GSLR的配方与优化按照目标(2)中所示的SLR公式,GSLR问题可以类似地写为应用. 例如,刚性点云配准问题,其目的是恢复空间变换minP∈Π,x∈XPAx−bT与未知的逐点对应,可以完美地适合在(G)SLR公式。然而,现有的方法,其中ARm×d,bRn(通常m=n),且Π为广义置换矩阵的集合。PPPPPY6476∈2Σ Σ∈{2Σintegerk∈,min(m,n)与力P=k,ijΣ22P∈Π,x∈XΣ纪我J 2∥ −∥3.1. Π的性质给定目标(4),我们首先探索广义置换矩阵PΠ应满足的性质。具体地说,除了从普通的对等体继承的二进制和一对一匹配属性外,我们也希望它能够表征离群值,因为我们的建议的关键观察是,目标(7)的轻微改革可以导致双全局可优化形式。具体来说,根据线性回归的定义,我们可以轻松地将其重写为求和形式minΣP Ax−b。• 如果Ai和bj应匹配,则Pij= 1,否则为0。• 如果Ai或bj是异常值,则P ij = 0。•iPij, jPij0,1,以保证每个Ai并且bj最多可以具有一个对应关系这些要求可以概括为P1≤1,PT1≤1,Pij∈ {0,1}.(五)然而,条件(5)不能直接用于优化。如果这样做,则目标(4)的全局最小值将锚定到0,其中相关联的平凡解P=0。因此,有必要引入一些其他约束来确保匹配的存在。一个简单而有效的解决方案是手动指定匹配的数量[40,41]。具体来说,我们引入一个min(m,n)2指示必须精确地存在k个内点匹配协变量和响应之间的关系因此,可以避免平凡解,并且广义置换矩阵Π的集合上的约束是P1≤1,PT1≤1,Pij∈ {0,1},Pij=k.(六)为了符号简单起见,我们在下文中继续使用Π来表示所有可能k下的所有广义置换矩阵的集合。类似于普通的对应物Π,约束(6)暗示Π是离散的和组合的,并且当k=m=n时退化为Π。现在,我们可以通过连接(4)和(6)来获得GSLR的正式公式:如果我们将替代优化应用于目标(8),通过将对应关系Pji视为已知,更新回归变量X导致加权线性最小二乘问题,其在大多数应用中应该是全局可解另一方面,如果x是固定的,则用于更新P的目标函数的形式为minDijPji,(9)P∈Π其中D是由A i x公式化的成本矩阵bj2.当匹配数k= min(m,n)时,问题(9)是一个标准的递归,它可以通过有效的方法(如匈牙利算法[20])进行全局优化。对于具有任意k的LAP,它形成k-基数线性分配问题(k-LAP),其可以通过填充成本矩阵[40]转换因此,我们可以得出结论,GSLR问题是容易解决的,通过替代优化。3.3. k作为M-估计量很明显,匹配数k表征了GSLR拒绝离群值的能力详细地,它类似于稳健估计中的修剪算子,其将特定比例的可疑离群值的权重事实上,这样的技术已经被广泛地用于各种类似的任务中。例如,用于点云配准的Trim-ICP算法[8]建议移除具有大残差的配对点的一部分;而部分图匹配算法[41]仅假设一半节点为内点,这导致k=1min(m,n)。然而,我们犹豫直接使用修剪歌剧-因为它的局限性是同时保持-minP,x∈XPAx−b(七)从而具有高击穿点和高效率。具体而言,虽然击穿点为0. 5可以轻松实现S. t. P1≤1,PT1≤1,Pij∈ {0,1},Pij= k.3.2. 一种双全局优化算法在本节中,我们考虑目标(7)的优化方法。它的困难有三方面。首先,置换P的离散性质阻碍了为光滑函数设计的优化器。其次,它的高度非凸性要求仔细的初始化。最后,匹配数k未知。作为解决方案,我们提出了一个简单有效的算法,该算法可以有效地保持离散性,缓解初始化问题。为了清楚起见,我们在此暂时假设k是已知的,并将其估计放在第2节中。三点三如果忽略50%的数据,相关的统计学效率仅为7%[11]。此外,对于一些应用[26,31],在保持高鲁棒性的同时保留尽可能多的匹配也是在这项工作中,我们采用另一种M-估计量来确定k,即Huber-skip估计量[16]。 除了继承完全拒绝(即,将权重设置为二进制)和易于计算的修剪算子属性,它还实现了更高的效率,同时能够保持故障点为0。五、具体地,给定一些数据(r1,r2,… rn),它拒绝违反的ri. ri−median(r)。≤阈值,(10).MAD(r) 。(八)6477∈X∈∈.Σ−∈XOO联系我们联系我们算法一:GSLR的一种双全局算法输入:ARm×d,bRn初始化:x=x0而不收敛• 通过求解标准LAP来计算Pt,其中kt=min(m,n)和xt−1。• 计算Pt和xt−1下的残差,并应用Huber-skip估计量得到kt。• 设kt= min(kt,kt−1)• 通过用更新的kt和xt−1求解k -LAP来计算P t。• 通过求解Pt下的加权线性回归问题得到x t。输出:x∈ X,P∈Π其中MAD是中值绝对偏差,并且阈值被设置为3。[ 16]第五节:建议[16]。补充材料中提供了更多细节。为了将Huber-skip估计器嵌入到我们前面提到的优化方案中,我们直接遵循最小修剪平方(LTS)[18]的公式,并将k计算为其残差满足等式(1)的对数。(十)、然而,这样一个天真的公式将打破单调性的替代优化方案,并使其转化为没有担保的能力 作为解决方案,在第t次迭代中,我们设置kt=min(kt−1,kt)以确保一致性。 整个算法总结在算法1中。4. 算法分析在本节中,我们分析算法1的时间和空间复杂度。此外,我们还证明了它单调地降低目标函数,并全局收敛到一个临界点。4.1. 复杂性我们分析了算法1的空间和时间复杂度的假设下,#A1,. . . ,Am#b1,. . .,Bn(即,m n)而不失一般性。主要的空间复杂度来自成本矩阵D,其理论上是(mn),而在我们的实现中是(mnd)以避免环路。对于每次迭代的时间复杂度,匈牙利算法求解k-LAP的时间复杂度是O(n+n−k)2,而Huber-skipping过程的时间复杂度是O(nlogn)4.2. 单调性我们现在证明,目标的总能量E(P,x)(8) 随着算法1单调递减。具体地说,由于回归变量x上的线性最小二乘问题是全局可优化的,因此很容易看出,E(Pt,xt+1)≤E(Pt,xt),(11)其中等式成立当且仅当xt已经是全局最优。此外,我们还通过随机移动kt+1定义了一个临时置换矩阵P_tmpkt来自P t的非零赋值。由于成本矩阵Dij=(Aix-bj)2是非负的,我们可以得到E(Ptmp,xt+1)≤E(Pt,xt+1)。 (十二)由于P_tmp满足由x_t+1和k_t+1表示的k-LAP的约束,因此它也在解空间内。另一方面,由于Pt+1是该目标函数的全局最优值,我们可以进一步导出E(Pt+1,xt+1)≤E(Ptmp,xt+1),(13)其中当且仅当P_tmp已经在全局最小值的集合内时等式成立此外,我们可以通过总结方程得到以下关系式:(11)-(13):E(Pt+1,xt+1)≤E(Ptmp,xt+1)≤E(Pt,xt),(14)其中等式成立当且仅当(Pt,xt)是目标函数的临界点。从等式根据公式(14),我们可以得出结论,算法1具有单调性。4.3. 收敛我们的建议可以全局收敛到一个临界点,由于单调性。准确地说,我们首先对回归变量x的域做两个假设:• 集合X对于x∈ X是紧的。• f(x)=Ax在X上连续。这些假设是相当弱的,可以满足大多数实际应用中制定的GSLR的方式。例如,在几何计算机视觉和几何处理任务中提出的正交群可以满足这两个条件。对于一般的实坐标空间Rn,尽管它本身不是紧的,我们可以合理地假设x位于它的一个封闭的有界子集中,因为无穷大在实际应用中几乎没有意义。类似于期望最大化算法[42]和一般化替代优化[15]的全局收敛性的证明,GSLR的全局收敛性是Zangwill [44]收敛定理的直接实例定理1(Zangwill的全局收敛定理)。 设H是S上的集值映射,给定s0∈ S,生成序列{sk}∞k通过迭代sk+1∈H(sk). 此外,设解集Γ S被给出。假设6478×X∈HH ×X → ×XH∈H}XX2×X∈∈X∥ − ∥δ12不不δ1不不N• 序列{sk}∞k S′对于S′• 在S上存在一个连续函数Ψ我们现在证明了映射(Pt+1,xt+1)(Pt,xt )在Π上是闭的 。特别地,对于任意( Pt,xt),我们可以总是得到一些δ1>0和δ2>0,它们满足– 若s∈/Γ:Ψ(s′)<Ψ(s),对所有s′∈H(s).P′,P′→P:={P′:P′∈N(P)}={P},– 若s∈Γ:对所有s′∈ H(s),Ψ(s′)≤Ψ(s).x′,x′→x:=|x′,xt|X(十六)<δ2,• 集值映射H在所有s处闭,其中s∈ S\Γ。则{sk}∞k的任一同余子列的极限 在解集Γ中。此外,对于所有极限点s,limk→∞Ψ(sk)= Ψ(s)。其中(P)是P的邻域。因此,我们可以导出映射x的差为H(P′,x′)\H(Pt,xt)=H(Pt,xt)\H(P′,x′)迭代优化算法可以被描述为在定理1的术语中的三元组{Ψ,H,Γ}。为=H(Pt,x′)\H(Pt,xt)=argmin Ψ(Pt,x)\argmin Ψ(Pt,x)=。(十七)算法1,我们可以直接设置目标函数-x∈Xx∈X将GSLR作为Ψ,以及:刘伟一 次 迭 代 此外,我们可以用满足以下条件的所有临界点来表示解集:Γ ={(P,x)∈Π× X:P∈argmin Ψ(P′,x)和由于Eq.公式(17)意味着,当公式(17)的输入被改变时,由回归变量x(P,x)生成的k-LAP的成本矩阵保持不变。从(Pt,xt)转换到(P′,x′),映射的P也是如此。所以我们P′xargmin Ψ(P,x′).x′(十五)(Pt,xt)通过进一步连接等式(16)和(17)。由于赞格威尔的所有要求定理满足,我们现在可以得出结论,我们的算法是全局收敛到一个临界我们在下面显示,所有三个请求在西奥-rem1满足该GSLR三元组。对于可行域Π的紧性,我们只需要分别验证Π和Π的紧性,因为紧集的并集仍然是紧的。具体地说,在我们的假设下是紧的;对于Π,它的有限和离散性意味着它的紧性。对于目标函数Ψ = PAx b2的连续性和单调性,由于它在文献[1]中已经证明是单调的. 4.2,我们在此仅关注连续性。 为了证明,由于连续函数的复合仍然是连续的,因此我们在此集中于f(P,x)= PAx的连续性。给定这样的函数是双线性形式w.r.t.(P,x),我们只需要证明它是独立连续的w.r.t.P和x。 为了证明,根据上述假设,我们有f(x)=Ax连续w.r. t。X. 此外,由于所有可能的广义置换Π的集合是有限离散的,我们有f(P)= PA连续w.r.t。 P II. 因此,我们得到f(P,x)= PAx是连续的,因此Ψ也是连续的。定义1(集值映射的闭性)。一个集值映射H:U → V称为在一点u∈ U上闭由解集Γ定义的点。5. 实验和应用我们进行实验,以证明SLR和GSLR之间的差异,在鲁棒估计,以及探索如何GSLR执行适当的applica-tions。我们限制在计算机视觉领域的讨论,虽然GSLR本身是一个更普遍的问题。5.1. 任务1:图像配准我们首先进行图像配准实验,以证明GSLR的有效性在SLR的鲁棒估计。给定描绘相同平面的一对图像,或者在相机姿态方面经历0平移的非平面场景,单应性描述了p’=αHp的关系,其中p’和p是齐次坐标中两个图像上的匹配像素,α是缩放因子,并且H是单应性矩阵。此外,如果以长焦距捕获图像,则可以将H假设为仿射变换[17]。由于这样的假设意味着缩放α= 1,我们可以将问题公式化为前提是以下两个字符minH P∈Π PHA−B• uk→u,其中uk∈ U,• vk→v,其中v,vk∈V,• vk∈F(uk),设v∈ H(u)。在此基础上,如果H在任意u∈ U处闭,则称H是闭的。H6479其中A和B代表来自齐次坐标中的两个图像的像素的集合。由于异常值的固有存在,该问题被视为GSLR问题而不是SLR问题在实现中,我们使用SIFT特征[21]来检索像素位置A和B的集合。初始64802estiF¨− ¨地面实况SLR GSLR(我们的)图2:图像配准实验的结果。GSLR在视觉上实现了与w.r.t.地面实况,而单反相机提出了明显的扭曲所有的审判。在源和目标对上,GSLR检测到的异常值起源ICPCPDFilterRegGSLR(我们的)标记为红色,内点标记为绿色。所有试验的变换H被设置为单位矩阵。为了优化SLR,我们将算法1的内点的数量k固定为特征点的数量。 我们使用成熟的描述符和基于RANSAC的方法[17]来近似地面实况。图2示出了结果。 如图所示,即使不使用描述符,GSLR也可以有效地估计变换矩阵,并在视觉上提供与基于参数的方法相同的结果(表示为地面实况),其中SLR结果明显受到所有试验中离群值的影响。5.2. 任务2:点云配准点云配准工作于估计两个点云之间的最佳刚性变换T。它的目标函数可以写为图3:合成数据的结果。左上:在异常值污染设置下GSLR的稳健性。识别的异常值标记为绿色。右上方:平均值和中位数转换误差总结。底部:部分重叠数据的示例。Trim-ICP、SVR和FGR呈现类似的可视化,因此被省略。缩放的Geman-McClure估计器以从经由FPFH特征[33]获得的匹配中去除离群值,并且CPD和FilterReg将配准问题转换为分布拟合问题,并使用均匀分布来处理离群值。其他细节见补充材料。配准异常值和部分重叠我们使用合成的兔子、龙和犰狳点云[9]进行测试。对于离群污染的情况,我们首先将点云向下采样到大约2500个点,minT∈SE(3),P∈ΠPTA−B用高斯噪声破坏它们 然后将离群值与从(0. 25,1),表示20%至其中A和B表示在齐次坐标中的两个点云。通常,它们将由许多异常值组成,这些异常值永远不应该用于估计T。实验设置、指标和对等方法我们在合成和真实世界的数据集上进行实验。由于未知的对齐顺序,所有点云对都会来回配准。 由于篇幅的限制,我们只报道了度量Trans的转换误差。err = TgtT−1我在主文件中, 补充材料中相应的旋转和平移对应物对于竞争性方法,我们使用ICP [3]、Trim-ICP [8]、SVR [7]、CPD[24]、FGR [47]和FilterReg [13],因为它们代表了处理离群值的不同策略其中,ICP作为基本基线,Trim-ICP与GSLR具有相似的离群点剔除技术,但采用了基于神经网络的匹配策略,SVR将两个点云作为混合分布,并最小化了它们之间的鲁棒L2散度; FGR使用50%的点是离群值。我们重复该过程10次,以获得总共30次试验。对于部分重叠的设置,我们将点云的大小缩小到每个点约3000个我们从每个形状中检索4个裁剪的点云,并进行36次试验。对于所有测试,我们将地面实况旋转设置为沿每个轴的欧拉角为30◦,并在[0,1]内进行随机平移。 如图3、SVR失败 以提供准确的结果,因为离群值的密集簇通常与内点类似地加权。此外,与CPD和FilterReg相比,它们只能降低离群值的权重,GSLR通过完全拒绝它们来呈现更准确的结果考虑到Trim-ICP和GSLR配备有类似的鲁棒估计技术(即,二进制加权的对),这是值得分析的低于标准的性能的Trim-ICP图中呈现。3 .第三章。异常值部分重叠平均中值平均中值ICP1.05 1.041.70e-1 1.19e-1微调ICP1.07 1.098.61e-1 8.56e-1SVR一点零五一点2.16e-1 1.71e-1CPD1.58e-2 1.52e-29.03e-2 9.09e-2FilterReg2.20e-2 1.70e-21.12e-1 9.95e-2FGR8.55e-2 7.22e-21.07 1.12GSLR(我们的)6.24e-3 5.65e-36.52e-2 3.78e-264812·图4:不同方法的灵敏度w.r.t.对离群污染点云的初始化。因为重复的图案和63的最小重叠比。9%。为了让ICP风格的算法合理地执行,我们通过将地面真实旋转固定为欧拉角中的15◦来所有点云都被下采样到大约3500个点。图5报告了结果。如图所示,与其他最先进的方法相比,我们的方法表现出最高的准确性。另一方面,由于局部特征是非常不可靠的重复模式存在时,FGR未能提出合理的结果。其他结果和实验我们还进行了其他实验,以分析统计效率、运行时间以及对r.t.不同尺度的噪声和异常值比率研究结果在补充材料中提供给感兴趣的读者。5.3. 任务3:等距形状匹配与集中于回归变量的点云配准相比根据函数图[26],其目标函数可以写为minC∈O(s),P∈ΠPCF−G图5:真实世界数据集上的配准结果左:通过我们的GSLR公式实现的示例。右:所有试验的平均值和中位数转换误差。这是配套政策的问题。详细地说,我们观察到ICP及其变体的基于NN的匹配策略使它们对初始化非常敏感。为了演示,我们对上述具有1/3点作为异常值的兔子点云进行了具有不同初始化的测试欧拉角中的地面实况旋转被分成6个范围,并且在每个范围内重复配准10次。图4记录了结果。如图所示,ICP和Trim-ICP也可以给出合理的结果,给出合理的初始化。在这种情况下,由于其大的修整比,Trim-ICP甚至可以提供比其他更准确的估计然而,当初始化粗糙化时,它们会急剧相反,GSLR可以显着缓解这个问题,通过一对一的对应关系,表现出稳定的性能,即使在大的初始化错误。真实世界的注册,我们还研究了性能的GSLR对真实世界的点云。对于实验设置,我们从ETH Hauptgebaude数据集[29]中建立了由5个连续帧组成的7组该数据集已知具有挑战性其中O()表示正交群,F和G表示两个网格的顶点拉普拉斯特征函数通常,它们包括异常值,因为映射很少是理想等距的。因此,仍然需要鲁棒估计,尽管底层的地面实况是满秩匹配[30]。实验设置、指标和对等方法我们在常用的数据集上进行实验。具体来说,我们在FAUST数据集[5]上进行类内和类间匹配,并在TOSCA数据集[6]上进行类内匹配。由于TOSCA的高度非等距性,其类别间测试超出对于每个任务,我们随机选择30对形状,并报告平均值作为最终结果。 对于被GSLR标记为离群值的顶点,我们简单地用估计的C将它们映射到它们最近的邻居,尽管更复杂的方法(例如搜索连接分量内的对应关系)可以用于提高平滑度。对于评估,我们采用常用的对应-测地线度量量化的性能。此外,我们还遵循[30]中给出的覆盖定义来度量双射性,其定义为具有至少一个对应的顶点与其总量的比率。我们选择ICP[26]、BCICP [30]和ZoomOut [23]作为竞争方法。对于设置,我们使用Laplace-Beltrami算子的50维本征函数来公式化函数F和G的集合,并初始化所有的是说中值ICP5.82e-11.65e-1微调ICP1.641.53SVR3.03e-12.00e-1CPD4.97e-11.22e-1FilterReg7.59e-16.62e-1FGR1.231.06GSLR(我们的)1.40e-11.16e-16482(a) 类内匹配(b)类间匹配图6:FAUST数据集上的匹配结果在每个子图中,左侧显示了GSLR实现的示例,中间是测地误差,右侧显示了覆盖率。对于标签,FMAP是功能图的缩写,FMAP+ZO-50和FMAP+ZO-100分别代表具有50维和100维特征函数的ZoomOut算法。0> 0.1来源FMAPICPBCICPZoomOut-100 GSLR(我们的)图7:FAUST数据集上的测地误差图示例与其他方法相比,GSLR估计的对应关系更符合地面实况。图8:TOSCA数据集上的匹配结果。左图:GSLR实现的匹配示例。右图:测地线误差和覆盖范围。37.1%百分之五十二点六百分之八十三点四62.0%94.4%算法与波核签名[4]和功能映射下的直接操作[30]。更多细节见补充材料。结果图6显示了FAUST数据集的总体结果,图6显示了FAUST数据集的总体结果。7描述了估计误差。与其他算法相比,GSLR算法能够估计出更高的匹配率,从而提供更准确的结果。此外,它还可以有效地保持一对一的对应关系,通过覆盖所有对上的80%对于TOSCA数据集,我们将网格抽取到大约3400个顶点,每个顶点并通过NN组合获得误差曲线。图8记录了结果。如所提出的,GSLR公式仍然可以同时支持匹配精度和双射性。我们强调,ZoomOut-100的输入本征函数的尺寸增加了一倍,虽然它实现了类似的结果GSLR的精度。图中给出了覆盖率的示例。9 .第九条。6. 讨论和结论在这项工作中,我们提出了GSLR制定与优化算法,以推广SLR更广泛的条件下,只有部分的数据应该匹配。不同的应用证明了它的有效性。我们目前的算法的主要限制在于时间效率。即,虽然k-ε是中等的,来源FMAP ICP BCICP ZoomOut-100 GSLR(我们的)图9:TOSCA数据集上的覆盖率示例。违反双射的顶点被标记为橙色。较高的百分比表示覆盖率。大小问题(例如,在我们的实验中,大小从3k到8k不等),当处理巨大的时,所花费的时间将显著增加幸运的是,这个问题可以通过现成的基于CUDA的匈牙利算法[10,43]有效解决,这些算法的速度要快数百倍对于未来的工作,GSLR需要更多的理论分析。例如,我们感兴趣的是研究[28]中针对SLR提出的唯一解的条件是否可以推广到GSLR,以及算法1的收敛速度。对于应用程序,我们希望在GSLR的变体上工作以用于其他任务,例如部分形状匹配和点到平面度量的配准。确认这项工作得到了NII CRIS和LINE公司合作研究项目的支持。6483引用[1] Abubakar Abid,Ada Poon,and James Zou.标签混洗的线性arXiv预印本arXiv:1705.01342,2017。2[2] Abubakar Abid和James Zou。随机期望最大化方法求解混洗线性回归。在年度Allerton通信会议的筹备中,控制和计算,2018年。2[3] K Somani Arun,Thomas S Huang和Steven D Blostein。两个三维点集的最小二乘拟合。Transactions on PatternAnalysis and Machine Intelligence(PAMI),9(5):698二、六[4] Mathieu Aubry,Ulrich Schlickewei,and Daniel Cremers.波核签名:形状分析的量子力学在2011年国际计算机视觉研讨会(ICCV研讨会)上。8[5] Federica Bogo、Javier Romero、Matthew Loper和MichaelJ. 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