内点罚函数法matlab实现

内点罚函数法是一种用于求解无约束优化问题的方法。它通过将约束条件转化为目标函数的惩罚项，从而将原问题转化为无约束优化问题。在MATLAB中，可以使用函数式M文件来实现内点罚函数法。

下面是一个内点罚函数法的MATLAB实现示例：

function [x, fval] = interior_penalty_method()
    % 设置初始点和精度
    x0 = [10; 10];
    epsilon = 1e-8;
    
    % 定义目标函数和约束函数
    f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;
    g = @(x) x(1) + x(2) - 2;
    
    % 定义罚函数和罚因子
    s = 1;
    penalty = @(x) f(x) + s * g(x)^2;
    
    % 定义拟牛顿法的一维搜索函数
    search = @(xk, pk) exact_line_search(xk, pk, epsilon);
    
    % 外罚函数法迭代求解
    while s > epsilon
        % 求解无约束子问题
        [x, fval] = quasi_newton_method(x0, penalty, search);
        
        % 更新罚因子
        s = s / 10;
    end
end

function [x, fval] = quasi_newton_method(x0, f, search)
    % 设置初始点和最大迭代次数
    x = x0;
    max_iter = 100;
    
    % 定义拟牛顿法的初始Hessian矩阵
    H = eye(length(x));
    
    % 拟牛顿法迭代求解
    for iter = 1:max_iter
        % 计算梯度和搜索方向
        grad = gradient(f, x);
        pk = -H * grad;
        
        % 一维搜索确定步长
        alpha = search(x, pk);
        
        % 更新参数
        x = x + alpha * pk;
        
        % 更新Hessian矩阵
        s = alpha * pk;
        y = gradient(f, x) - grad;
        H = H + (y * y') / (y' * s) - (H * s * s' * H) / (s' * H * s);
    end
    
    % 计算最优解和最优值
    fval = f(x);
end

function alpha = exact_line_search(xk, pk, epsilon)
    % 设置初始步长和最大迭代次数
    alpha = 1;
    max_iter = 100;
    
    % 一维搜索迭代求解
    for iter = 1:max_iter
        % 计算目标函数在当前步长处的值
        fval = f(xk + alpha * pk);
        
        % 计算目标函数在当前步长前一点处的值
        fval_prev = f(xk + (alpha / 2) * pk);
        
        % 判断是否满足Armijo准则
        if fval <= fval_prev + epsilon * alpha * pk' * gradient(f, xk)
            break;
        end
        
        % 更新步长
        alpha = alpha / 2;
    end
end

function grad = gradient(f, x)
    % 计算梯度
    h = 1e-6;
    grad = zeros(length(x), 1);
    
    for i = 1:length(x)
        x_plus_h = x;
        x_plus_h(i) = x_plus_h(i) + h;
        grad(i) = (f(x_plus_h) - f(x)) / h;
    end
end

这个MATLAB程序实现了内点罚函数法求解无约束优化问题。它使用拟牛顿法作为无约束子问题的求解方法，并使用精确一维搜索的拟牛顿法来确定步长。在每次迭代中，通过更新罚因子来逐步接近原问题的解。