∫(r^2+r^4)·(r^2+4r^4)^0.5 dr

我们可以进行变量替换，令u = r^2 + 4r^4，那么du/dx = 8r^3 + 2r，dr = 1/(8r^3 + 2r) du。

将r^2 + r^4分解为 r^2(1 + r^2)，代入原式，得到：

∫r^2(1 + r^2)·(r^2 + 4r^4)^0.5 dr

接下来，我们将(r^2 + 4r^4)^0.5替换为u的形式，得到：

∫r^2(1 + r^2)·u^0.5·(8r^3 + 2r)^-1 du

将分母中的8r^3 + 2r提取公因数，得到：

∫r^2(1 + r^2)·u^0.5·r^-1·(4r^2 + 1)^-1·(2r^2 + 1)^-1 du

将1 + r^2 替换为 (r^2 + 1)^2 - 2r^2，得到：

∫(r^2 + 1)·r^2·u^0.5·r^-1·(4r^2 + 1)^-1·(2r^2 + 1)^-1 du - 2∫r^2·u^0.5·r^-1·(4r^2 + 1)^-1·(2r^2 + 1)^-1 du

第一部分可以通过令v = 2r^2 + 1，得到：

∫(r^2 + 1)·u^0.5·(4r^2 + 1)^-1·v^-1 du

利用分部积分法，令：

f = (r^2 + 1)·u^0.5，df/dv = -(r^2 + 1)·u^0.5·v^-2

g = ln(v)，dg/dv = v^-1

得到：

∫f·g' du = f·g - ∫f'·g du

代入f、f'、g，得到：

(r^2 + 1)·u^0.5·ln(2r^2 + 1) - 2∫(r^2 + 1)·u^0.5·r^-1·(8r^4 + 2r^2 + 1)^-1 du

第二部分可以通过令w = 8r^4 + 2r^2 + 1，得到：

∫r^2·u^0.5·(4r^2 + 1)^-1·w^-1 du

利用分部积分法，令：

f = r^2·u^0.5，df/dw = -r^2·u^0.5·w^-2·(16r^4 + 4r^2)

g = ln(w)，dg/dw = w^-1

得到：

∫f·g' du = f·g - ∫f'·g du

代入f、f'、g，得到：

- 1/16·r^2·u^0.5·ln(8r^4 + 2r^2 + 1)

将u代入，得到最终结果：

(r^2 + 1)·(r^2 + 4r^4)^0.5·ln(2r^2 + 1) - 1/8·r^2·(r^2 + 4r^4)^0.5·ln(8r^4 + 2r^2 + 1) + C

其中，C为常数项。