求柱面x^2+y^2=2x被锥面x^2+y^2=z^2所截剩下部分面积
时间: 2023-09-12 13:07:39 浏览: 59
首先,将柱面的方程化为标准形式:$(x-1)^2+y^2=1$。
然后,锥面的方程为 $x^2+y^2=z^2$。
将 $z$ 消去,得到 $x^2+y^2=(\sqrt{x^2+y^2})^2=z^2=x^2+y^2$,即 $x^2+y^2=0$ 或 $x^2+y^2\neq 0$。
显然,$x^2+y^2=0$ 对应的是顶点,不在所求范围内。因此,我们只需考虑 $x^2+y^2\neq 0$ 的情况。
将 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入柱面的方程,得到 $(x-1)^2+y^2=1$,即 $x^2-2x+1+y^2=1$,即 $x^2+y^2=2x$。
将 $x^2+y^2=2x$ 代入锥面的方程,得到 $2x=z^2$。
因此,所求部分的面积可以表示为:
$$
\begin{aligned}
S&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{z_x}{z_z})^2+(\frac{z_y}{z_z})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{1}{2\sqrt{x}})^2+(\frac{0}{2\sqrt{x}})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+\frac{1}{4x}}dxdy \\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r\cos^2\theta}}rdrd\theta \\
&=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r}}rdr \\
&=\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)
\end{aligned}
$$
因此,所求柱面被锥面截剩下部分的面积为 $\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)$。