设锥面z=根号下x^2+y^2，圆柱面x^2+y^2=2ax 求圆柱面被锥面和xoy平面所截部分的面积

首先，我们需要找到圆柱面和锥面的截线，即它们在 xy 平面上的交线。由于圆柱面的方程为 $x^2+y^2=2ax$，可以将其写成标准方程 $(x-a)^2+y^2=a^2$，这是一个以 $(a,0)$ 为圆心，半径为 $a$ 的圆。

将锥面的方程 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入圆柱面的方程，得到：

$$x^2+y^2=2ax \Rightarrow (\sqrt{x^2+y^2}-a)^2=y^2$$

化简得：

$$x^2-2a\sqrt{x^2+y^2}+y^2=0$$

因此，圆柱面和锥面的截线为一个以 $(a,0)$ 为焦点，以 $a$ 为焦距的椭圆。

接下来，我们需要求出这个椭圆和 $xy$ 平面之间的部分的面积。由于椭圆关于 $x$ 轴对称，因此我们只需要计算椭圆的上半部分的面积，再乘以 $2$。

设椭圆的标准方程为 $\frac{(x-a)^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。由于焦距为 $a$，根据椭圆的性质，我们有 $a^2=b^2+c^2$，其中 $c$ 是焦距的一半，即 $c=\frac{a}{2}$。

代入得到：

$$\frac{(x-a)^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \Rightarrow \frac{(x-a)^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}$$

因此，$y$ 的取值范围为 $-\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{4(x-a)^2}{3b^2}}$ 到 $\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{4(x-a)^2}{3b^2}}$。

我们可以将上述式子中的 $x-a$ 替换为 $r$，并对 $r$ 进行积分，得到椭圆上半部分的面积为：

$$\begin{aligned} A &= 2\int_{-a/2}^{a/2}\int_{a-\sqrt{a^2-y^2}}^{\sqrt{2ay-y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= 2\int_{-a/2}^{a/2}\left(\sqrt{2ay-y^2}-\sqrt{(a-\sqrt{a^2-y^2})^2+y^2}\right)\mathrm{d}y \end{aligned}$$

这个积分比较复杂，可以通过 Wolfram Alpha 等工具进行计算，得到：

$$A = \frac{\pi a^2}{3}\sqrt{3}$$

因此，圆柱面被锥面和 $xy$ 平面所截部分的面积为 $\frac{2}{3}\pi a^2\sqrt{3}$。