设锥面z=根号下x^2+y^2，圆柱面x^2+y^2=2ax 求圆柱面被锥面和xoy平面所截部分的面积积分

首先，我们需要确定圆柱面和锥面的截面形状。将圆柱面和锥面联立，消去 $z$，得到：

$$x^2 + y^2 = 2az^2$$

这是一个在 $xOy$ 平面上的圆形，半径为 $r=\sqrt{2az^2}$。现在我们需要确定积分区域。首先考虑 $x$ 和 $y$ 的范围。由于我们只考虑圆柱面和锥面的交集，因此圆柱面的范围为 $-a\le x \le a$，$-\sqrt{a^2-x^2} \le y \le \sqrt{a^2-x^2}$。锥面的范围为 $0\le z \le \sqrt{x^2+y^2}$，因此 $x$ 和 $y$ 的范围也受到了限制，即 $x^2+y^2\le 2az^2$。

接下来我们需要确定积分的函数。根据题目要求，我们需要计算截面的面积。由于截面是一个圆形，因此面积公式为 $A=\pi r^2$。将 $r$ 代入，得到：

$$A = \pi(2az^2) = 2\pi a z^2$$

现在我们可以写出积分式：

$$\iiint\limits_V 2\pi a z^2\,\mathrm{d}V$$

其中 $V$ 是积分区域。利用柱坐标系转换，得到：

$$\begin{aligned}
\iiint\limits_V 2\pi a z^2\,\mathrm{d}V &= \int_{-a}^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \int_0^{\sqrt{2az^2-x^2-y^2}} 2\pi a z^2 \cdot r \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \left[\pi a z^2 (2az^2-x^2-y^2)\right]_{z=0}^{z=\sqrt{2az^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \pi a z^2 \left(2az^2-x^2-y^2\right)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \pi a \left[\frac{1}{5}z^5 - \frac{1}{3}z^3\left(x^2+y^2\right)\right]_{z=0}^{z=\sqrt{2az^2-x^2}}\,\mathrm{d}x \\
&= \int_{-a}^a \pi a \left[\frac{2a^2x^2}{5} - \frac{a^4}{3}\right]\,\mathrm{d}x \\
&= \frac{4}{15}\pi a^3\int_{-a}^a (3x^2-2a^2)\,\mathrm{d}x \\
&= \frac{4}{15}\pi a^3 \left[x^3 - \frac{2}{3}a^2 x\right]_{x=-a}^{x=a} \\
&= \frac{16}{15}\pi a^4
\end{aligned}$$

因此，圆柱面被锥面和 $xOy$ 平面所截部分的面积积分为 $\frac{16}{15}\pi a^4$。