求由平面z=1及锥面z=根号(x²+y²)所围空间立体体积
时间: 2024-03-26 15:36:50 浏览: 16
我们可以采用三重积分的方法求解这个问题。
首先,我们需要确定积分区域。由于积分区域是一个立体,因此我们可以采用柱坐标系来描述。在柱坐标系下,积分区域可以表示为:
0 <= r <= 1
0 <= θ <= 2π
r <= z <= √(r^2 + 1)
接下来,我们可以列出积分式:
V = ∫∫∫ dV
= ∫0^1 ∫0^(2π) ∫r^2 √(r^2 + 1) dz dθ dr
对于 z 方向的积分,我们可以进行变量代换:
u = r^2 + 1
du = 2r dr
将其代入原式,得到:
V = ∫0^1 ∫0^(2π) (1/2) (u^(3/2) - 1) dθ du
= π/2 (√2/5 + 1/2)
因此,所求的立体体积为 π/2 (√2/5 + 1/2)。
相关问题
请帮我画出锥面z=根号下x²+y²的图像
好的,根据公式z=根号下x²+y²,我们可以知道它是一个以z轴为对称轴的锥面。当z=0时,方程可以变形为x²+y²=0,即(0,0,0)点,因此它的顶点就在原点。
我们可以在x轴和y轴上分别取一些点,然后根据方程计算出相应的z值,从而得到锥面的一部分。由于锥面具有对称性,我们只需要画出一半,再将其沿z轴对称即可。
下面是一个简单的示意图:
![锥面示意图](https://img-blog.csdnimg.cn/20211017192900960.png)
注意,这只是一个简单的示意图,真正的锥面是无限延伸的。
求在圆锥面z=√(x²+y²)与平面z=1所围成的区域内,各面平行于坐标面的最大长方体体积
首先,我们可以画出圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和平面 $z=1$ 的交线在 $xy$ 平面上的图形:
![image](https://i.imgur.com/5zEXE9g.png)
可以看出,该图形是一个半径为 $1$ 的圆。
同时,我们可以发现,在该区域内,各面平行于坐标面的最大长方体的一个顶点必然在圆锥面上,且这个点到平面 $z=1$ 的距离为 $1$。
因此,我们可以设该长方体的顶点为 $(r\cos\theta, r\sin\theta, \sqrt{r^2})$,其中 $0\leq r\leq 1$,$0\leq\theta<2\pi$。
根据题意,该长方体的体积为 $V=r^2\sqrt{r^2}$。
要求最大体积,可以对 $V$ 进行求导:
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}&=2r\sqrt{r^2}+r^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{r^2}}\cdot 2r\\
&=3r\sqrt{r^2}
\end{aligned}
$$
令其为 $0$,解得 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}$。因此,该长方体的最大体积为 $V=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\cdot\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{9}$。
因此,在圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 所围成的区域内,各面平行于坐标面的最大长方体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$。