Mathematica 中将 高 斯 波 :u[x, 0] == Exp[-x^2/(b*w^2)]作 初 值 时 , 求 解 衍 射 傍 轴 方 程 :I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}] == 0(k=2*Pi/\[Lambda])。比较 b=1,b=2 和 b=4 时强度随着传输距离 z 增加 演化图,分析不同位置能 量 变 化 规 律
时间: 2024-03-03 11:50:07 浏览: 24
好的,让我来回答你的问题。这是一个比较典型的衍射傍轴方程,可以使用数值方法来求解。在Mathematica中,可以使用NDSolve函数来求解。
首先,我们需要定义一些常数和初始条件。根据题目所给的条件,我们可以定义:
```
k = 2*Pi/λ;
w0 = 1;
zR = (k*w0^2)/2;
z0 = 0;
```
其中,λ是波长,w0是高斯波的初始半径,zR是瑞利范围(衍射傍轴的重要参数),z0是初始位置。
然后,我们需要定义高斯波的初始条件。根据题目所给的条件,可以定义:
```
b = 1;
u0[x_] := Exp[-x^2/(b*w0^2)];
```
其中,b是高斯波的参数。
接下来,我们可以使用NDSolve函数来求解衍射傍轴方程。根据题目所给的条件,可以定义:
```
sol = NDSolve[{I*D[u[x, z], z] + (1/(2*zR^2))*D[u[x, z], {x, 2}] == 0, u[x, 0] == u0[x]}, u, {x, -10, 10}, {z, 0, 10}]
```
其中,u是未知函数,{x, -10, 10}和{z, 0, 10}分别是x和z的取值范围。
接着,我们可以使用DensityPlot函数来绘制强度随着传输距离z增加的演化图。根据题目所给的条件,可以定义:
```
bValues = {1, 2, 4};
plots = Table[DensityPlot[Abs[u[x, z]]^2, {x, -10, 10}, {z, 0, 10}, PlotRange -> All, ColorFunction -> "SunsetColors", PlotLabel -> StringTemplate["b=``"][bValues[[i]]]], {i, 1, Length[bValues]}];
Show[plots]
```
其中,Abs[u[x, z]]^2是强度,ColorFunction -> "SunsetColors"是设置颜色映射。
最后,我们可以分析不同位置能量变化规律。根据题目所给的条件,可以定义:
```
energy[x_, z_] := Abs[u[x, z]]^2;
totalEnergy[z_] := NIntegrate[energy[x, z], {x, -Infinity, Infinity}];
ListPlot[Table[totalEnergy[z], {z, 0, 10, 0.1}], PlotRange -> All, AxesLabel -> {"z", "Energy"}]
```
其中,energy[x, z]是在位置x和z处的能量密度,totalEnergy[z]是在位置z处的总能量,ListPlot可以绘制能量随着传输距离z的变化曲线。
通过比较不同b值的演化图和能量变化规律,我们可以发现,随着传输距离z的增加,强度会逐渐减小,而能量总量会保持不变。同时,当b值增大时,高斯波的初始半径会变大,导致强度逐渐减小的速度变慢。
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