mathematica中.将高斯脉冲信号：u[x, 0] == Exp[-x^2]作初值时，求 解 衍 射 傍 轴 方 程 ：I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}]的表达式，。求强度随着传输距离 z 增加 演化规律

在Mathematica中，可以使用NDSolve函数来数值求解衍射傍轴方程。具体步骤如下：

1. 定义方程和初值条件：

eqn = I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}] == 0;
ic = u[x, 0] == Exp[-x^2];

其中，eqn为衍射傍轴方程，ic为初值条件。

2. 求解方程：

sol = NDSolve[{eqn, ic}, u, {x, -10, 10}, {z, 0, 10}];

其中，{x, -10, 10}表示求解区间为x从-10到10，{z, 0, 10}表示求解区间为z从0到10。

3. 绘制强度随着传输距离z增加的演化规律：

intensity[x_, z_] := Abs[u[x, z]]^2 /. sol[[1]];
Plot[intensity[x, 10], {x, -10, 10}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"x", "Intensity"}]

其中，intensity为求解得到的波函数的强度，sol[[1]]表示取得到的第一个解。

绘制出的图像即为强度随着传输距离z增加的演化规律。

相关问题

mathematica中.将高斯脉冲信号：u[t, 0] == Exp[-t^2]作初值时，求解三阶色散方程：I*D[u[t, z], z] + \[Rho]*D[u[t, z], {t, 2}] == 0的表达式，分析其频谱特性，特别是系统的频谱特性。

根据题意，我们可以使用数学软件Mathematica来求解三阶色散方程。首先，我们需要定义初值条件:

u[t_, z_] := Exp[-t^2] /. z -> 0

然后，我们可以使用NDSolve函数来求解三阶色散方程:

sol = NDSolve[{I*D[u[t, z], z] + \[Rho]*D[u[t, z], {t, 2}] == 0, u[0, z] == u[t, 0], 
Derivative[1, 0][u][0, z] == 0}, u, {t, 0, T}, {z, 0, L}]

其中，u[t,0]就是高斯脉冲信号的初值条件，T是时间上限，L是空间上限。

接下来，我们可以绘制高斯脉冲信号的时域和频域图像：

ut[t_] := Re[Evaluate[u[t, 0] /. sol]]
Plot[ut[t], {t, 0, T}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"t", "u(t,0)"}]

uf[f_] := Abs[FourierTransform[ut[t], t, f]]
Plot[uf[f], {f, -10, 10}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"f", "|U(f,0)|"}]

其中，ut[t]是高斯脉冲信号的时域表示，uf[f]是高斯脉冲信号的频域表示。

最后，我们可以分析系统的频谱特性。由于三阶色散方程中包含了二阶时间导数，所以其频谱特性会受到时间频率的影响。在高斯脉冲信号的情况下，其频谱主要集中在低频区域，且频谱呈现高斯型分布。随着传输距离z的增加，由于三阶色散方程的影响，信号的频率会发生漂移，导致频谱分布发生变化。具体来说，频率较高的分量会因色散效应而略微减小，而频率较低的分量则会略微增加。这种漂移现象称为色散引起的频率漂移，是三阶色散方程在光纤传输中的常见现象。

mathematica中.将高斯脉冲信号：u[t, z=0] == Exp[-t^2]作初值时，求解三阶色散方程：I*D[u[t, z], z] + \[Rho]*D[u[t, z], {t, 2}] == 0的表达式，分析其频谱特性，特别是系统的频谱特性。比较高 斯脉冲信号随着时间强度及相位、频谱强度及相位随着传输距离 z 增加演化规律。

根据题意，我们可以使用数学软件Mathematica来求解三阶色散方程。首先，我们需要定义初值条件:

u[t_, z_] := Exp[-t^2] /. z -> 0

然后，我们可以使用NDSolve函数来求解三阶色散方程:

sol = NDSolve[{I*D[u[t, z], z] + \[Rho]*D[u[t, z], {t, 2}] == 0, u[0, z] == u0[z], 
Derivative[1, 0][u][0, z] == 0}, u, {t, 0, T}, {z, 0, L}]

其中，u0[z]是对应的z轴初始值，T是时间上限，L是空间上限。

接下来，我们可以绘制高斯脉冲信号的时域和频域图像：

ut[t_] := Re[Evaluate[u[t, 0] /. sol]]
Plot[ut[t], {t, 0, T}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"t", "u(t,0)"}]

uf[f_] := Abs[FourierTransform[ut[t], t, f]]
Plot[uf[f], {f, -10, 10}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"f", "|U(f,0)|"}]

其中，ut[t]是高斯脉冲信号的时域表示，uf[f]是高斯脉冲信号的频域表示。

最后，我们可以绘制高斯脉冲信号随着传输距离z增加时的演化规律：

uz[t_, z_] := Re[Evaluate[u[t, z] /. sol]]
Manipulate[Plot[uz[t, z], {t, 0, T}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"t", "u(t,z)"}], {z, 0, L}]

通过观察图像，我们可以发现随着传输距离z的增加，高斯脉冲信号的幅度会逐渐减小，频率会发生变化，相位也会发生变化。这是由于三阶色散方程在传输过程中会引起色散效应的影响，导致信号发生形变和频率漂移。