mathematica作图：曲面z＝12－2x^2-2y^2，z＝x^2+y^2 ＋3所围成的几何体（两种颜色），交线，放在盒子里。要坐标轴及其坐标轴的符号。 2．并且将该几何体向z＝0作投影，做出投影区域的图形。 3．利用二重积分求该几何体的体积。

在Mathematica中，你可以通过以下几个步骤创建所需的图形：

1. **绘制曲面及交线**:
- 首先，导入Mathematica并设置坐标轴范围和标签：

     <<Graphics`
     Plot3D[{12 - 2*x^2 - 2*y^2, x^2 + y^2 + 3}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5},
            AxesLabel -> {"x", "y", "z"}, BoxRatios -> Automatic]

- 然后，为了区分两个曲面，可以使用`RegionFunction`指定颜色：

     Show[%, RegionFunction -> Function[{x, y, z}, z > (x^2 + y^2 + 3)],
         ColorFunction -> "Rainbow"]

2. **投影到z=0平面**:
对于投影，可以使用`PlotRangePadding`来包含边界，并将z限制为0：

     proj = RevolutionPlot3D[{12 - 2*r^2, r^2 + 3}, {r, -5, 5}, {θ, 0, Pi},
                            ViewPoint -> Above, AxesLabel -> {"x", "y"},
                            Mesh -> None, PlotStyle -> Black,
                            PlotRangePadding -> {{Automatic, Scaled[0.2]}, All}]

接着结合原图形：

     Show[%, %1, ViewAngle -> 45 Degree]

3. **计算体积**:
使用二重积分计算体积，这里假设第一个曲面位于下方：

     volume = Integrate[
       Boole[z > (x^2 + y^2 + 3)]*(12 - 2*x^2 - 2*y^2) - (x^2 + y^2 + 3), 
       {x, -5, 5}, {y, -Sqrt[6 + 12*z], Sqrt[6 + 12*z]}] // N

这将给出包围这两个曲面的立体的体积。