已知y=a*x^3+b*x^2+c*x+d,其中a不等于0,(1)y的稳定点(一阶导数等于0)的个数有几种情况?举例说明,并由matlab画出其图形. (2)y的极值点有几种情况? 举例说明,并由matlab画出其图形.

(1) 首先对 $y$ 求导得到：

$$
y'=3ax^2+2bx+c
$$

稳定点就是指一阶导数为 $0$ 的点，也就是满足 $y'=0$ 的点。将上式中的 $y'$ 替换为 $0$，我们可以得到一个二次方程：

$$
3ax^2+2bx+c=0
$$

由于 $a\neq0$，因此这个方程一定有解。根据二次方程的求根公式，我们可以得到这个方程的两个根，也就是稳定点的横坐标。因此，$y$ 的稳定点的个数有两种情况：

- 当二次方程有两个不同的实根时，$y$ 有两个稳定点；
- 当二次方程有两个相同的实根时，$y$ 有一个稳定点。

下面是一个 MATLAB 的例子程序：

% 定义 y(x)
syms x a b c d
y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d;

% 对 y(x) 求导
dy = diff(y, x);

% 解方程 dy=0
sol = solve(dy==0, x);

% 输出稳定点的个数和横坐标
if length(sol) == 2
    disp(['y(x)有两个稳定点，分别为：x1=', num2str(sol(1)), ', x2=', num2str(sol(2))]);
elseif length(sol) == 1
    disp(['y(x)有一个稳定点，为：x=', num2str(sol(1))]);
end

% 绘制 y(x) 的图像
a_val = 1;
b_val = -2;
c_val = 3;
d_val = 4;
x_vals = -5:0.1:5;
y_vals = subs(y, [a,b,c,d], [a_val,b_val,c_val,d_val]);
plot(x_vals, y_vals);
xlabel('x');
ylabel('y');
title(['y(x) = ', char(y)]);
grid on;

这个程序可以计算 $y$ 的稳定点个数和横坐标，并绘制 $y$ 的图像。你可以将上述代码复制到 MATLAB 中运行，得到结果和图像。

(2) 稳定点是极值点的一种特殊情况，因此极值点的个数一定不小于稳定点的个数。对于一个三次函数 $y=a*x^3+b*x^2+c*x+d$，它的极值点个数有三种情况：

- 当 $a>0$ 时，$y$ 有一个极小值和一个极大值；
- 当 $a<0$ 时，$y$ 没有极小值和极大值；
- 当 $a=0$ 时，$y$ 的极值点就是 $y$ 的稳定点。

下面是一个 MATLAB 的例子程序：

% 定义 y(x)
syms x a b c d
y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d;

% 对 y(x) 求导
dy = diff(y, x);

% 对 dy(x) 求导
ddy = diff(dy, x);

% 解方程 dy=0 和 ddy=0
sol = solve(dy==0, ddy==0, x);

% 输出极值点的个数和横坐标
if isempty(sol)
    disp('y(x)没有极值点');
elseif length(sol) == 2
    disp(['y(x)有一个极小值和一个极大值，分别为：x1=', num2str(sol(1)), ', x2=', num2str(sol(2))]);
end

% 绘制 y(x) 的图像
a_val = 1;
b_val = -2;
c_val = 3;
d_val = 4;
x_vals = -5:0.1:5;
y_vals = subs(y, [a,b,c,d], [a_val,b_val,c_val,d_val]);
plot(x_vals, y_vals);
xlabel('x');
ylabel('y');
title(['y(x) = ', char(y)]);
grid on;

这个程序可以计算 $y$ 的极值点个数和横坐标，并绘制 $y$ 的图像。你可以将上述代码复制到 MATLAB 中运行，得到结果和图像。