已知梯度下降算法得到的函数，编写一个输出线性关系的函数

由于梯度下降算法可以用于求解各种类型的函数，因此输出线性关系的函数需要根据具体的函数形式进行编写。下面以求解线性回归模型为例，给出一个输出线性关系的函数：

def linear_regression(X, y, alpha=0.01, num_iterations=1000):
    """
    使用梯度下降算法求解线性回归模型

    参数：
    X: 输入特征矩阵，形状为 (m, n)，其中 m 为样本数，n 为特征数
    y: 输出标签，形状为 (m, 1)
    alpha: 学习率，默认为 0.01
    num_iterations: 迭代次数，默认为 1000

    返回：
    theta: 模型参数，形状为 (n, 1)
    cost_history: 每次迭代后的代价值
    """

    m, n = X.shape
    theta = np.zeros((n, 1))
    cost_history = []

    for i in range(num_iterations):
        # 计算预测值
        y_pred = np.dot(X, theta)

        # 计算代价值
        cost = np.sum((y_pred - y) ** 2) / (2 * m)
        cost_history.append(cost)

        # 计算梯度
        grad = np.dot(X.T, y_pred - y) / m

        # 更新参数
        theta -= alpha * grad

    return theta, cost_history

这个函数实现了使用梯度下降算法求解线性回归模型的过程。其中，输入特征矩阵 X 和输出标签 y 都是二维的 numpy 数组，而学习率 alpha 和迭代次数 num_iterations 则是可选的超参数。函数返回模型参数 theta 和每次迭代后的代价值 cost_history。注意到这个函数的输出线性关系是指线性回归模型的输出 y_pred 与输入特征 X 之间的线性关系。