破圈法实现最小生成树

破圈法，也称为Prim算法（Prim's algorithm），是一种用于寻找无向加权图中最小生成树的算法。最小生成树是指在图中连接所有顶点的边的总权重最小的树。Prim算法的主要思想是从一个初始顶点开始，逐步添加与现有树相连且权重最小的边，直到所有顶点都被包含在内。

以下是Prim算法实现最小生成树的基本步骤：

1. 初始化：选择一个起始顶点（通常是最小权重的顶点或任意一个），并将其加入到已访问集合中，形成初始树。

2. 扩展过程：对于未访问的顶点集合，计算它们到当前已访问集合中所有顶点的最短边（权重）。找到这个最短边，将边的另一端（未访问的顶点）加入到已访问集合，并更新该顶点的邻接边的权重。

3. 重复步骤2，直到所有的顶点都被添加到已访问集合，形成了最小生成树。

4. 最后，整个过程会得到一个树形结构，其中包含所有顶点，且边的总权重最小。

相关问题

破圈法实现最小生成树c++

破圈法（Kruskal's Algorithm），也称为普里姆算法，是一种用于求解无向图中最小生成树的经典算法。在C++中，你可以通过以下步骤实现：

1. **初始化**：创建一个集合（或并查集）来存储所有的顶点，并假设它们都是孤立的。

2. **排序边**：将图的所有边按照权重从小到大排序。

3. **遍历边**：对于每条边，如果它的两个端点不在同一个集合中（即它们还没有形成连通分量），就将这条边加入最小生成树，并合并这两个顶点所在的集合。

4. **重复直到**：所有边都被检查过或者当前集合包含n-1个元素，因为一棵树有n-1条边。

5. **返回结果**：最后剩下的连通分量就是最小生成树。

下面是C++代码的一个简单示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>

using namespace std;

class DisjointSet {
public:
    int find(int x) { return parent[x] == x ? x : parent[x] = find(parent[x]); }
    void unite(int x, int y) {
        x = find(x);
        y = find(y);
        if (x != y) parent[x] = y;
    }

private:
    vector<int> parent;
};

int kruskalMST(vector<pair<int, pair<int, int>>> edges) {
    DisjointSet ds(edges.size());
    sort(edges.begin(), edges.end());

    vector<int> mstCost(0);
    for (auto edge : edges) {
        int u = edge.second.first;
        int v = edge.second.second;
        int w = edge.first;

        if (ds.find(u) != ds.find(v)) {
            mstCost.push_back(w);
            ds.unite(u, v);
        }
    }
    return accumulate(mstCost.begin(), mstCost.end(), 0);
}

int main() {
    // 测试数据
    vector<pair<int, pair<int, int>>> edges = {{1, {0, 1}}, {2, {0, 2}}, {3, {1, 3}}, {4, {2, 4}}, {5, {3, 5}}};
    cout << "Minimum spanning tree cost: " << kruskalMST(edges) << endl;
    return 0;
}

破圈法实现最小生成树c++编写程序

破圈法（Kruskal's Algorithm），也称为普利姆算法（Prim's Algorithm），是一种用于求解无向连通加权图中最小生成树的算法。它的基本思想是从图中任选一个顶点开始，每次选择一条当前未加入到已构成的树中的最短边，直到所有顶点都被包含在内，形成一棵树。

以下是使用 C++ 实现破圈法的一个简短版本：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;

struct Edge {
    int src, dest, weight;
};

bool compare(Edge e1, Edge e2) {
    return e1.weight < e2.weight;
}

int kruskal(int vertices, vector<Edge> edges) {
    set<pair<int, int>> minEdges;
    for (Edge edge : edges)
        minEdges.insert({edge.weight, edge.src + edge.dest});

    int result = 0;
    for (int i = 0; i < vertices - 1 && !minEdges.empty(); ++i) {
        int weight = minEdges.begin()->first;
        int u = minEdges.begin()->second / 2;
        int v = minEdges.begin()->second % 2 + u;
        minEdges.erase(minEdges.begin());

        // Check if adding the edge doesn't form a cycle in the current tree
        bool doesCycle = false;
        for (auto it = minEdges.begin(); it != minEdges.end(); ++it) {
            if (u == it->second / 2 || v == it->second % 2 + u)
                doesCycle = true;
        }

        if (!doesCycle)
            result += weight;
    }
    return result;
}

// 示例使用
int main() {
    int vertices = 5;
    vector<Edge> edges = {{0, 1, 10}, {0, 4, 20}, {1, 2, 5}, {1, 3, 15}, {2, 4, 30}, {3, 4, 25}};
    cout << "Minimum spanning tree using Kruskal's algorithm: " << kruskal(vertices, edges);
    return 0;
}

在这个程序中，`kruskal` 函数首先将边按照权重排序，然后逐次添加边，同时检查新添加的边是否会形成环。如果不会，就将其权重累加到结果上。这个过程会持续到添加完所有的边并构建出最小生成树为止。