极大似然估计与最大似然估计的区别

极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）和最大似然估计（Maximum a Posteriori，MAP）都是常用的参数估计方法，它们的区别在于是否考虑了先验概率。

极大似然估计是在给定样本的情况下，估计模型参数值，即找到使得样本出现的概率最大的参数值，而不考虑参数的先验分布。最大似然估计是一种无信息估计方法，适用于样本量大，样本分布较为稳定的情况下。

最大似然估计的公式为：

$$\hat{\theta}_{MLE}=\arg \max_{\theta} P(X=x|\theta)$$

最大后验概率估计是在贝叶斯框架下，考虑先验概率，通过样本来更新先验分布，从而得到后验分布。最大后验概率估计是一种有信息估计方法，适用于样本量较小，或者样本分布不够稳定的情况下。

最大后验概率估计的公式为：

$$\hat{\theta}_{MAP}=\arg \max_{\theta} P(\theta|X=x)$$

其中，$P(X=x|\theta)$为似然函数，$P(\theta)$为参数的先验分布，$P(\theta|X=x)$为参数的后验分布。