利用前两问的结论,证明如下定理: AdaBoost迭代$T$轮后返回的分类器$f$, 经验误差满足 \begin{align*} \hat R_{D}(f) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0} \leq \exp\left[-2 \sum_{t=1}^T \left(\frac12 - \epsilon_t\right)^2\right]. \end{align*} 进一步地, 若对于任意的$t \in [T]$, $\gamma \leq (\frac12 - \epsilon_t)$, 那么有 \begin{align*} \hat R_{D}(f) \leq \exp(-2\gamma^2 T). \end{align*}
时间: 2023-07-06 20:32:21 浏览: 55
为了证明该定理,我们首先利用前两问的结论,得到规范化因子$Z_t$和基学习器误差$\epsilon_t$的关系:
\begin{align*}
Z_t = 2\sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)}, \quad \forall t \in [T].
\end{align*}
接着,我们考虑AdaBoost算法迭代$T$轮后返回的分类器$f$在训练集$D$上的经验误差$\hat{R}_D(f)$。根据定义,经验误差可以表示为:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0},
\end{align*}
其中,$1_{y_i f(\x_i) \leq 0}$为指示函数,当$y_i f(\x_i) \leq 0$时,函数值为1,否则为0。也就是说,$\hat{R}_D(f)$表示在训练集$D$上,分类器$f$的错误率。
由于AdaBoost算法的迭代过程中,每一轮都会得到一个基学习器$h_t$和其对应的系数$\alpha_t$,所以最终的分类器$f$可以表示为:
\begin{align*}
f(x) = \text{sign}\left(\sum_{t=1}^T \alpha_t h_t(x)\right).
\end{align*}
因此,我们可以将$\hat{R}_D(f)$表示为:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i \sum_{t=1}^T \alpha_t h_t(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\sum_{t=1}^T \alpha_t y_i h_t(\x_i) \leq 0}.
\end{align*}
接下来,我们需要将$\hat{R}_D(f)$表示为规范化因子$Z_t$和基学习器误差$\epsilon_t$的形式。根据AdaBoost算法的定义,基学习器误差$\epsilon_t$可以表示为:
\begin{align*}
\epsilon_t = \frac{\sum_{i=1}^m w_{i,t} \cdot \mathbb{I}(y_i \neq h_t(x_i))}{\sum_{i=1}^m w_{i,t}},
\end{align*}
其中,$w_{i,t}$表示第$t$轮迭代中样本$i$的权重。
将上式代入$\hat{R}_D(f)$中,得到:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\sum_{t=1}^T \alpha_t y_i h_t(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\prod_{t=1}^T \exp(-\alpha_t y_i h_t(\x_i)) \geq 1} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T \sqrt{1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t)} \\
&\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T \exp\left[-2\cdot\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right] \\
&= \exp\left[-2\sum_{t=1}^T\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right],
\end{align*}
其中,$\gamma_t = \arccos(2\epsilon_t - 1)$。
将上式变形得到:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) \leq \exp\left[-2\sum_{t=1}^T\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right].
\end{align*}
这就证明了定理的第一部分。接下来,我们考虑第二部分的证明。假设对于任意的$t \in [T]$,$\gamma \leq \left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)$,则有:
\begin{align*}
1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t) &= 1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\arccos(2\epsilon_t - 1)) \\
&= 1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot (1 - (2\epsilon_t - 1)^2) \\
&= 4\epsilon_t(1-\epsilon_t).
\end{align*}
因此,$\prod_{t=1}^T \sqrt{1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t)} = \prod_{t=1}^T Z_t$. 由于$\gamma \leq \left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)$,所以有$\sin(\gamma_t) \geq \gamma_t$,从而有:
\begin{align*}
Z_t = 2\sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)} \geq 2\sqrt{\left(\frac{1}{2} - \gamma\right)\cdot\left(\frac{1}{2} + \gamma\right)} = 2\gamma.
\end{align*}
因此,有:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T Z_t \\
&\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T (2\gamma) \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (2\gamma)^T \\
&= \left(\frac{2\gamma}{m}\right)^T \\
&= \exp(-2\gamma^2 T),
\end{align*}
证毕。
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