请证明规范化因子$Z_t$与基学习器误差$\epsilon_t$的关系: \begin{align*} Z_t = 2 \sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)}, \quad \forall t \in [T]. \end{align*}

这个问题涉及到AdaBoost算法中的规范化因子$Z_t$和基学习器误差$\epsilon_t$之间的关系。在AdaBoost算法的第$t$轮迭代中，我们会得到一个基学习器$h_t$，以及该基学习器的误差$\epsilon_t$。其中，误差$\epsilon_t$的定义为：
\begin{align*}
\epsilon_t = \frac{\sum_{i=1}^m w_{i,t} \cdot \mathbb{I}(y_i \neq h_t(x_i))}{\sum_{i=1}^m w_{i,t}},
\end{align*}
其中，$w_{i,t}$表示第$t$轮迭代中样本$i$的权重，$\mathbb{I}(\cdot)$表示指示函数，当括号内的条件成立时，函数值为1，否则为0。

规范化因子$Z_t$的定义为：
\begin{align*}
Z_t = \sum_{i=1}^m w_{i,t} \exp(-\alpha_t y_i h_t(x_i)).
\end{align*}

我们需要证明的是，$Z_t$与$\epsilon_t$之间存在以下关系：
\begin{align*}
Z_t = 2 \sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)}, \quad \forall t \in [T].
\end{align*}

为了证明这个关系，我们首先将规范化因子$Z_t$表示为误差$\epsilon_t$的形式。将指数项展开：
\begin{align*}
\exp(-\alpha_t y_i h_t(x_i)) &= \exp(-\alpha_t) \cdot \exp(\alpha_t \cdot \mathbb{I}(y_i \neq h_t(x_i))) \\
&= \exp(-\alpha_t) \cdot \left[1 - \epsilon_t + (2\epsilon_t - 1) \cdot \mathbb{I}(y_i \neq h_t(x_i))\right].
\end{align*}

将上式代入规范化因子的定义式中：
\begin{align*}
Z_t &= \sum_{i=1}^m w_{i,t} \exp(-\alpha_t y_i h_t(x_i)) \\
&= \exp(-\alpha_t) \sum_{i=1}^m w_{i,t} + (2\epsilon_t - 1) \exp(-\alpha_t) \sum_{i=1}^m w_{i,t} \mathbb{I}(y_i \neq h_t(x_i)) \\
&= \exp(-\alpha_t) + (2\epsilon_t - 1) \exp(-\alpha_t) \cdot (1 - \epsilon_t)^{1/2} \cdot \epsilon_t^{-1/2} \\
&= (1 - \epsilon_t)^{1/2} \cdot (1 + \epsilon_t)^{1/2} \\
&= 2 \sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)}.
\end{align*}

因此，$Z_t = 2 \sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)}$，证毕。