单纯性算法解一般线性方程组头哥
时间: 2023-06-13 22:02:02 浏览: 51
单纯性算法(也称高斯消元法)可以用来解一般的线性方程组。假设有 $n$ 个未知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$,并且有 $m$ 个方程式,形如:
$$
\begin{cases}
a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,n} x_n = b_1 \\
a_{2,1} x_1 + a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,n} x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{m,1} x_1 + a_{m,2} x_2 + \cdots + a_{m,n} x_n = b_m
\end{cases}
$$
其中 $a_{i,j}$ 和 $b_i$ 是已知的常数,$i = 1,2,\cdots,m$,$j = 1,2,\cdots,n$。
单纯性算法的基本思路是,通过一系列的行变换,将线性方程组转化为一个简化的矩阵,然后通过回代求解出未知量。具体的步骤如下:
1. 将系数矩阵 $A$ 和常数向量 $\mathbf{b}$ 合并成增广矩阵 $[A|\mathbf{b}]$。
2. 对增广矩阵进行一系列的行变换,使其变为上三角矩阵。具体来说,从第 $i=1$ 行开始,对于每一行 $i$,都执行以下操作:
(a) 如果 $a_{i,i} = 0$,则从下面的行中找到一个非零元素 $a_{j,i}$($j>i$),然后将第 $i$ 行和第 $j$ 行交换。
(b) 如果 $a_{i,i} \neq 0$,则将第 $i$ 行乘以一个系数 $k$,使得 $a_{i,i}=1$。然后,对于 $i+1, i+2, \cdots, m$ 行,执行以下操作:将第 $j$ 行减去 $k$ 倍的第 $i$ 行,使得 $a_{j,i}=0$。
经过这样的一系列操作,增广矩阵就可以变成上三角矩阵。
3. 从最后一行开始,使用回代法求解未知量。具体来说,对于第 $i=n,n-1,\cdots,1$ 个未知量 $x_i$,有:
$$
x_i = \frac{b_i - \sum\limits_{j=i+1}^n a_{i,j} x_j}{a_{i,i}}
$$
这样,就可以使用单纯性算法解一般的线性方程组了。需要注意的是,在实际应用中,为了避免出现精度问题,可能需要对系数矩阵进行一些调整,比如对角线元素选取绝对值最大的元素等。
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