因为 $adj(A)$ 的所有元素都是 $A$ 的代数余子式，所以 $det(adj(A)) = (det(A))^{n-1}$。所以 $det(adj(A)) = (det(A))^{n-1}$，即 $det(adj(A)) = (det(A))^2$。这一步能详细解释一下吗

当我们计算伴随矩阵 $adj(A)$ 时，它的每一个元素都是 $A$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}^*$。其中，$A_{ij}^*$ 表示 $A$ 中除去第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余元素的行列式乘以 $(-1)^{i+j}$。因此，$adj(A)$ 的行列式为：

$$
det(adj(A)) = \sum_{i=1}^{n}{a_{ij}A_{ij}^*}
$$

其中，$a_{ij}$ 是 $A$ 的元素。由于 $A_{ij}^*$ 是 $A$ 的代数余子式，因此我们有：

$$
a_{ij}A_{ij}^* = det
\begin{bmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\
a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}
\end{bmatrix}
$$

因此，我们可以得到：

$$
det(adj(A)) = det
\begin{bmatrix}
a_{11}A_{11}^*&a_{12}A_{12}^*&\cdots&a_{1n}A_{1n}^*\\
a_{21}A_{21}^*&a_{22}A_{22}^*&\cdots&a_{2n}A_{2n}^*\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}A_{n1}^*&a_{n2}A_{n2}^*&\cdots&a_{nn}A_{nn}^*
\end{bmatrix}
$$

由于 $A_{ij}^*$ 是 $A$ 的代数余子式，因此我们有 $A_{ij}^* = (-1)^{i+j}M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是 $A$ 的子矩阵 $A_{ij}$ 的行列式。因此，我们可以将 $det(adj(A))$ 写成：

$$
det(adj(A)) = det
\begin{bmatrix}
a_{11}M_{11}&-a_{12}M_{12}&\cdots&a_{1n}M_{1n}\\
-a_{21}M_{21}&a_{22}M_{22}&\cdots&-a_{2n}M_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}M_{n1}&-a_{n2}M_{n2}&\cdots&a_{nn}M_{nn}
\end{bmatrix}
$$

我们可以将第一行中的 $a_{11}M_{11}$ 提出来作为公因子，得到：

$$
det(adj(A)) = a_{11}^{n-1}det
\begin{bmatrix}
M_{11}&-a_{12}/a_{11}M_{12}&\cdots&a_{1n}/a_{11}M_{1n}\\
-a_{21}/a_{11}M_{21}&a_{22}M_{22}-a_{21}a_{12}/a_{11}M_{12}&\cdots&-a_{2n}/a_{11}M_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}/a_{11}M_{n1}&-a_{n2}/a_{11}M_{n2}&\cdots&M_{nn}-a_{n1}a_{1n}/a_{11}M_{1n}
\end{bmatrix}
$$

因此，我们可以看出 $det(adj(A))$ 的值是 $a_{11}^{n-1}$ 乘以一个矩阵的行列式。我们可以将这个矩阵的第一列除以 $a_{11}$，并且利用行列式的性质 $det(kA)=k^n det(A)$（其中 $k$ 是常数）将第一列的 $a_{11}$ 提出来，得到：

$$
det(adj(A)) = a_{11}^{n-1}det
\begin{bmatrix}
M_{11}&-a_{12}/a_{11}M_{12}&\cdots&a_{1n}/a_{11}M_{1n}\\
-a_{21}/a_{11}M_{21}&a_{22}M_{22}-a_{21}a_{12}/a_{11}M_{12}&\cdots&-a_{2n}/a_{11}M_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}/a_{11}M_{n1}&-a_{n2}/a_{11}M_{n2}&\cdots&M_{nn}-a_{n1}a_{1n}/a_{11}M_{1n}
\end{bmatrix} = (det(A))^{n-1}
$$

因此，我们得到了 $det(adj(A)) = (det(A))^{n-1}$，即：

$$
det(adj(A)) = (det(A))^2
$$

这个结论对于 $n \geq 2$ 的情况成立。