信号与系统,傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换公式和性质表格汇总

信号与系统是一门研究信号的传输、处理和分析等问题的学科。傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换则是信号与系统中的三种重要数学工具。下面，我们来汇总一下傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换公式以及相关性质。

傅里叶变换公式：

$$F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$

逆傅里叶变换公式：

$$f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

拉普拉斯变换公式：

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$

逆拉普拉斯变换公式：

$$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds$$

z变换公式：

$$F(z)=\mathcal{Z}\{f(n)\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)z^{-n}$$

逆z变换公式：

$$f(n)=\mathcal{Z}^{-1}\{F(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\oint_C F(z)z^{n-1}dz$$

傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换的基本性质：

1. 线性性质：对于任意常数a,b，有$\mathcal{F}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{F}\{f(t)\}+b\mathcal{F}\{g(t)\}$，$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}$，$\mathcal{Z}\{af(n)+bg(n)\}=a\mathcal{Z}\{f(n)\}+b\mathcal{Z}\{g(n)\}$。

2. 平移性质：对于任意常数$a$，有$\mathcal{F}\{f(t-a)\}=e^{-j\omega a}\mathcal{F}\{f(t)\}$，$\mathcal{L}\{f(t-a)\}=e^{-sa}\mathcal{L}\{f(t)\}$，$\mathcal{Z}\{f(n-a)\}=z^{-a}\mathcal{Z}\{f(n)\}$。

3. 改变因子：对于任意常数$a$，有$\mathcal{F}\{f(at)\}=\frac{1}{|a|}\mathcal{F}\{f(t)\}$，$\mathcal{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}\mathcal{L}\{f(t)\}$，$\mathcal{Z}\{f(an)\}=z^{-n}\mathcal{Z}\{f(n)\}$。

4. 卷积定理：对于两个信号$f(t)$和$g(t)$，有$\mathcal{F}\{f(t)*g(t)\}=\mathcal{F}\{f(t)\}\cdot\mathcal{F}\{g(t)\}$，$\mathcal{L}\{f(t)*g(t)\}=\mathcal{L}\{f(t)\}\cdot\mathcal{L}\{g(t)\}$，$\mathcal{Z}\{f(n)*g(n)\}=\mathcal{Z}\{f(n)\}\cdot\mathcal{Z}\{g(n)\}$。

5. 能量守恒：对于信号$f(t)$或$f(n)$，有$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega$，$\int_{0^-}^{\infty}|f(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}|F(s)|^2ds$，$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|f(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\oint_C |F(z)|^2\frac{dz}{z}$。

通过傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换公式及其相关性质，我们可以对信号进行分析和处理，从而更好地理解和设计信号与系统。