我们有 y[m - 1] = y[(m - 1) + T],然后呢 怎么得出奇数情况下y也是周期函数的？

非常抱歉，我的回答有误。您是正确的，我在之前的解释中犯了一个错误。对于奇数情况下的周期性还需要进一步证明。

根据题目的定义，当 n 是奇数时，y[n] = 0。我们需要证明对于任意奇数 n，存在一个正周期 T，使得 y[n] = y[n + T]。

考虑奇数序列 m1, m2, m3, ...，其中 m1 < m2 < m3 < ... 为奇数。假设存在一个正周期 T，使得 y[n] = y[n + T] 对于所有 n 成立。

对于任意奇数 m，我们有 m = (m - 1) + 1。根据周期性的假设，我们有 y[m] = y[m - 1]。

现在我们考虑 m - 1。由于 m - 1 是偶数，根据之前的推导，我们已经证明了对于任意偶数 n，有 y[n] = y[n + T]。因此，我们可以得到 y[m - 1] = y[(m - 1) + T]。

综上所述，我们可以得出结论：对于任意奇数 m，存在一个正周期 T，使得 y[m] = y[m + T]。因此，y[n] 也是一个周期信号，其周期为 T。

非常抱歉之前的错误回答给您带来的困惑。感谢您的指正。

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matlab 已知y(K)+2y(k-1)+2y(k-2)=f(k)+f(k-1),y(-1)=1,y(-2)=2,f(k)=u(k),求系统的h(k)、g(k)、y(k)

首先，将系统的差分方程表示成矩阵形式：

| y(k)   |   | 2  2  1 |   | y(k-1) |
| y(k-1) | = | 1  0  0 | * | y(k-2) |
| y(k-2) |   | 0  1  0 |   | f(k-1) |

将初始条件代入矩阵方程，得到：

| y(0) |   | 2  2  1 |^0 * | 2 |
| y(-1)| = | 1  0  0 |   | 1 |
| y(-2)|   | 0  1  0 |   | 1 |

解出矩阵的幂：

| y(k)   |   | 2  2  1 |^k   | 2   |   | 1   0   0 |   | 2 |
| y(k-1) | = | 1  0  0 |   | 1   | = | 2   1   0 | * | 1 |
| y(k-2) |   | 0  1  0 |   | f(k-1)|   | 1   0   1 |   | 1 |

因此，系统的传递函数为：

Y(z)     1
---- = ----- * (z^2 + 2z + 2)
F(z)   z^2 + 1

可以看出，系统的零点为 z = -1- i 和 z = -1+ i，极点为 z = i 和 z = -i。

接下来，求解系统的 h(k) 和 g(k)：

h(k) = [ z^k ] Y(z) = [ z^k ] (z^2 + 2z + 2) / (z^2 + 1) = { 2cos(kπ/2)  k为偶数
                                                              { 0           k为奇数

g(k) = [ z^k ] H(z) = [ z^k ] (z+1)^2 / (z^2 + 1) = { 1-(-1)^k  k为偶数
                                                  { 0          k为奇数

最后，求解 y(k)：

y(k) = h(k) * f(k) + g(k) * u(k)

其中，u(k) = f(k)。

综上所述，系统的 h(k)、g(k) 和 y(k) 表示为：

h(k) = { 2cos(kπ/2)  k为偶数
       { 0           k为奇数

g(k) = { 1-(-1)^k  k为偶数
       { 0          k为奇数

y(k) = { 2cos(kπ/2)u(k) + (1-(-1)^k)u(k-1)   k为偶数
       { 2cos(kπ/2)u(k)                     k为奇数

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; using ll = long long; const ll N = 3; ll T; ll n; long long p = 998244353; struct Node { long long m[N][N]; Node() { memset(m, 0, sizeof m); }//矩阵初始化为0的操作 Node operator*(const Node &b) const//定义矩阵乘法运算 { Node c; for (ll i = 0; i < N; i++) for (ll j = 0; j < N; j++) for (ll k = 0; k < N; k++) { c.m[i][j] = (c.m[i][j] + m[i][k] * b.m[k][j]) % p; } return c; } }; Node fun(Node a, long long b) { Node res; for (ll i = 0; i < N; i++) res.m[i][i] = 1;//构造单位矩阵res while (b) { if (b & 1) res = res * a; // 对于奇数次幂，把矩阵a乘到res上 a = a * a; b = b / 2; } return res; } Node x,y; long long fun1() { x.m[0][0] = 1; x.m[0][1] = 0; x.m[0][2] = 1; x.m[1][0] = 0; x.m[1][1] = 1; x.m[1][2] = 1; x.m[2][0] = 2; x.m[2][1] = 2; x.m[2][2] = 1; y = fun(x,n-1); cout << (y.m[0][0] + y.m[0][2] * 2)%p <<"\n"; return y.m[0][0]; } int main() { cin >> T; for(int i = 0; i< T; i++) { cin >> n; fun1(); } return 0; }分析思路

这段代码是使用矩阵快速幂来求解斐波那契数列的第 n 项，时间复杂度为 O(log n)。

具体分析如下：

1. 定义一个 3x3 的矩阵 Node，其中 Node.m[i][j] 表示第 i 行第 j 列的元素。
2. 定义一个 fun 函数，其中参数 a 为一个 Node 矩阵，b 为一个整数。函数返回一个 Node 矩阵，表示 a 的 b 次幂。
3. 在 fun 函数中，首先构造一个单位矩阵 res，然后进行循环操作，每次将 a 的平方赋值给 a，b 右移一位。如果当前 b 的最低位为 1，就将 res 乘上 a，然后将 a 赋值为 a 的平方。最后返回 res。
4. 定义一个 fun1 函数，其中初始化一个 1x3 的矩阵 x，然后根据斐波那契数列的递推公式构造一个 3x3 的矩阵 y，将 y 赋值为 x 的 n-1 次幂，然后输出 y.m[0][0] + y.m[0][2] * 2 的值，即斐波那契数列的第 n 项。注意取模操作。
5. 在 main 函数中，读入测试数据的数量 T，然后进行 T 次循环，每次调用 fun1 函数。

因为矩阵快速幂的时间复杂度为 O(log n)，所以整个程序的时间复杂度为 O(T * log n)。