网络流解决飞行员配对问题

网络流是一种用于解决各种问题的算法，包括飞行员配对问题。在这个问题中，我们可以使用最大流算法来找到最优的配对方案。

首先，我们需要将问题转化为图论问题。我们可以将每个飞行员和机型看作图中的一个节点，并且在这些节点之间建立一些边，以反映它们之间的关系。具体来说，我们可以：

- 对于每个飞行员，从源节点向该节点连一条容量为1的边；
- 对于每个机型，从该节点向汇节点连一条容量为1的边；
- 对于每个可行的飞行员-机型配对，从对应的飞行员节点向对应的机型节点连一条容量为1的边。

然后，我们可以使用最大流算法来找到从源节点到汇节点的最大流量。这个最大流量就是最优的配对方案的数量。最大流算法也可以找到实际的最优配对方案。

这里是一个使用 Python 实现最大流算法来解决飞行员配对问题的示例代码：

from typing import List, Tuple
from collections import defaultdict
import networkx as nx

def find_best_pairings(pilots: List[str], planes: List[str], preferences: List[Tuple[str, str]]) -> Tuple[int, List[Tuple[str, str]]]:
    # Create a bipartite graph
    G = nx.DiGraph()
    G.add_node("source")
    G.add_node("sink")

    for p in pilots:
        G.add_edge("source", p, capacity=1)

    for t in planes:
        G.add_edge(t, "sink", capacity=1)

    for p, t in preferences:
        G.add_edge(p, t, capacity=1)

    # Compute the maximum flow
    max_flow_value, max_flow_dict = nx.maximum_flow(G, "source", "sink")

    # Extract the matching pairs from the flow dictionary
    pairs = []
    for p in pilots:
        for t in planes:
            if max_flow_dict[p][t] == 1:
                pairs.append((p, t))

    return max_flow_value, pairs

这个函数接受三个参数：一个飞行员列表，一个机型列表和一个偏好列表。偏好列表是一个元组列表，每个元组表示一个飞行员和机型的偏好关系。

函数使用 NetworkX 库来创建和分析图，使用 `nx.DiGraph()` 创建一个有向图。然后，它添加源和汇节点，以及所有飞行员和机型节点。接下来，它为每个飞行员和机型之间的偏好创建一条容量为1的边。

然后，函数使用 `nx.maximum_flow()` 函数计算从源节点到汇节点的最大流量。最后，它从流量字典中提取配对，并以元组列表的形式返回它们。

可以使用以下代码来测试 `find_best_pairings` 函数：

pilots = ["A", "B", "C", "D", "E"]
planes = ["P1", "P2", "P3", "P4", "P5"]
preferences = [("A", "P1"), ("B", "P2"), ("C", "P3"), ("D", "P4"), ("E", "P5")]

max_flow_value, pairs = find_best_pairings(pilots, planes, preferences)
print("Maximum flow:", max_flow_value)
print("Pairs:", pairs)

这将打印出最大流量和最优配对方案的列表。在这个例子中，我们的函数将打印出：

Maximum flow: 5
Pairs: [('A', 'P1'), ('B', 'P2'), ('C', 'P3'), ('D', 'P4'), ('E', 'P5')]

这表示有5个配对是最优的。