举例说明分治算法的时间复杂度并写出一个典型应用的实现算法

分治算法的时间复杂度通常为 O(nlogn)。

一个典型的应用是归并排序，它的实现算法如下：

void merge(int arr[], int l, int m, int r) {
    int i, j, k;
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 =  r - m;

    int L[n1], R[n2];

    for (i = 0; i < n1; i++)
        L[i] = arr[l + i];
    for (j = 0; j < n2; j++)
        R[j] = arr[m + 1+ j];

    i = 0;
    j = 0;
    k = l;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (L[i] <= R[j]) {
            arr[k] = L[i];
            i++;
        }
        else {
            arr[k] = R[j];
            j++;
        }
        k++;
    }

    while (i < n1) {
        arr[k] = L[i];
        i++;
        k++;
    }

    while (j < n2) {
        arr[k] = R[j];
        j++;
        k++;
    }
}

void mergeSort(int arr[], int l, int r) {
    if (l < r) {
        int m = l+(r-l)/2;

        mergeSort(arr, l, m);
        mergeSort(arr, m+1, r);

        merge(arr, l, m, r);
    }
}

在这个实现中，`mergeSort` 函数对数组进行递归式的分治操作，直到每个子数组只有一个元素时停止。然后，`merge` 函数将这些子数组合并成一个有序数组。这个算法的时间复杂度为 O(nlogn)。