如何理解用 Gauss 消元法解线性 方程组的正确性(从矩阵乘法、线性方程组的“生成”两方面来描述)；2000字

Gauss消元法是一种常见的解线性方程组的方法，它基于矩阵乘法和线性方程组的"生成"思想，通过一系列的行变换，将系数矩阵转化为一个上三角矩阵，从而解出线性方程组的解向量。本文将从矩阵乘法和线性方程组的"生成"两个角度来描述Gauss消元法的正确性。

一、矩阵乘法的角度

Gauss消元法的矩阵形式可表示为：

$$
E_n E_{n-1} \cdots E_1 A = U
$$

其中，$E_i(i=1,2,\cdots,n)$是一个初等矩阵，$A$是线性方程组的系数矩阵，$U$是形如下面的一个上三角矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\
0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & u_{nn}
\end{bmatrix}
$$

我们将$E_n E_{n-1} \cdots E_1$简记为$E$。由于初等矩阵是可逆矩阵，因此我们可以通过对$E_n E_{n-1} \cdots E_1$求逆矩阵，得到：

$$
A = E^{-1} U
$$

这说明矩阵$A$可以由初等矩阵乘积$E_n E_{n-1} \cdots E_1$与上三角矩阵$U$相乘生成。那么，我们来看初等矩阵与$A$相乘的结果。

对于$E_i(i=1,2,\cdots,n-1)$，它的作用是将$A$的第$i+1$到$n$行进行一系列的行变换，使得$A$变成一个上三角矩阵的形式。而$E_n$的作用是将$A$的第$n$行进行一次缩放，使得$A_{nn}\neq 0$。因此，$E$相乘的结果就是对$A$进行一系列的行变换和缩放，使得$A$变成了一个上三角矩阵的形式。可以证明，这个上三角矩阵是唯一的。

根据上述分析，我们可以得到以下结论：

- 系数矩阵可以由初等矩阵乘积与上三角矩阵相乘生成。
- 初等矩阵乘积$E$对系数矩阵$A$进行一系列的行变换和缩放，使得$A$变成了一个上三角矩阵的形式。
- 上三角矩阵是唯一的。

二、线性方程组的“生成”角度

Gauss消元法的本质是对线性方程组的“生成”进行一定的处理，使得其更方便求解。具体地，我们将线性方程组的系数矩阵变换为上三角矩阵的形式，就可以使用回代法求得线性方程组的解。

我们考虑一个非奇异的$n$级系数矩阵$A$，我们将其消元得到上三角矩阵$U$。假设$A$关于某个向量$u$的线性组合为$b$，即：

$$
Au = b
$$

我们可以将上述方程转化为：

$$
E_n E_{n-1} \cdots E_1 A u = E_n E_{n-1} \cdots E_1 b
$$

设$v=E_1 A u$，$w=E_2 v$，$\cdots$，$z=E_{n-1} w$，$y=E_n z$。显然，$y$为一个向量。

根据前面的分析，$E_n E_{n-1} \cdots E_1 A = U$，因此上述方程可以写成：

$$
Uy = E_n E_{n-1} \cdots E_1 b
$$

我们利用回代法，可以求得向量$y$的解。由于系数矩阵$A$的非奇异性，可得$u$存在唯一解，即线性方程组的解向量存在且唯一。

结论

通过以上分析，我们可以得到Gauss消元法的正确性：

- 系数矩阵可以由初等矩阵乘积与上三角矩阵相乘生成。
- 初等矩阵乘积对系数矩阵进行一系列的行变换和缩放，使得系数矩阵变成了一个上三角矩阵的形式。
- 上三角矩阵是唯一的。
- 线性方程组的解存在且唯一。

综上所述，Gauss消元法是一种正确可靠的解线性方程组的方法。