逻辑回归的两种目标函数的区别是什么

逻辑回归的两种目标函数是交叉熵损失函数与平方误差损失函数。交叉熵损失函数通常用于二元分类问题，能够更好地描述模型分类的准确度，而平方误差损失函数则适用于回归问题，更加注重模型预测值与真实值之间的距离与误差。

相关问题

逻辑回归目标函数优化求解

### 逻辑回归目标函数优化求解方法

#### 损失函数定义
逻辑回归用于解决二分类问题，其核心在于估计给定输入特征下属于某一类别（通常是正类）的概率。为了评估模型预测的好坏并调整参数，引入了损失函数的概念。对于单个训练样本而言，如果采用对数似然作为衡量标准，则对应的负对数似然即构成了该样本上的损失[^3]。

#### 目标函数形式
当面对整个训练集时，总体的目标函数可以通过累积各个单独样本的损失值得到。具体来说，在不考虑正则项的情况下，逻辑回归试图最小化的成本函数J(θ)可表达为：

\[
J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}log(h_\theta(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)}))]
\]

其中\(h_\theta(x)\)=g(z)，而z=\(\theta^Tx\)；g代表Sigmoid激活函数\[ g(z)=\frac {1}{1+e^{-z}} \][^1]。

#### 参数更新策略
为了找到使上述目标函数达到极小值的最佳权重向量θ*，常用的方法有梯度下降法以及更高级别的最优化技术比如牛顿迭代法等。这些算法的核心思想都是沿着当前点处的成本曲面斜率方向逐步移动直至收敛至局部最优解附近停止变化为止[^2]。

- **梯度下降**：这是一种简单直观的方式，每次按照一定步长沿反比例于当前位置导数值的方向前进一小段距离完成一次迭代更新操作直到满足预设终止条件如最大循环次数到达或相邻两次计算所得误差绝对差小于指定阈值。

def gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters):
    m = len(y)
    J_history = []
    
    for i in range(num_iters):
        h = 1 / (1 + np.exp(-np.dot(X, theta)))
        loss = h - y
        grad = np.dot(X.T, loss) / m
        
        # 更新参数
        theta -= alpha * grad
    
        # 记录代价函数的变化情况
        cost = (-y*np.log(h)-(1-y)*np.log(1-h)).mean()
        J_history.append(cost)

    return theta, J_history

- **牛顿法/拟牛顿法**：相较于前者仅利用了一阶偏导信息指导寻优路径的选择，后者还额外借助Hessian矩阵描述二次近似的几何特性从而加速逼近过程提高效率尤其适合高维空间下的复杂非线性映射关系建模任务。

#### 实际应用场景中的实现方式
尽管理论上可以自行编写代码实现以上提到的各种优化器，但在实践中往往推荐直接调用成熟的机器学习框架所提供的接口来简化工作流程降低开发难度同时保障性能表现。例如Python环境下流行的scikit-learn库就内置了一个名为`LogisticRegression` 的类支持多种配置选项方便快捷地构建高效稳定的LR分类器实例。

逻辑回归和岭回归的区别

逻辑回归和岭回归是两种常用的回归模型，它们有以下几点区别：

1. 目标函数：逻辑回归的目标是最大化似然函数或最小化交叉熵损失函数，以求得最优的分类边界。而岭回归的目标是最小化预测值与实际值之间的平方误差，同时加上一个正则化项（L2正则化），以防止过拟合。

2. 输出值：逻辑回归输出的是概率值，表示属于某个类别的概率；而岭回归输出的是连续型变量，用于预测因变量的数值。

3. 模型形式：逻辑回归使用逻辑函数（如sigmoid函数）将线性函数的输出映射到[0,1]之间，用于表示属于某个类别的概率。岭回归则通过对线性函数的系数进行正则化，加上L2范数的惩罚项，以控制模型的复杂度。

4. 处理多重共线性：逻辑回归在处理多重共线性时可能会出现问题，因为它假设自变量之间无线性关系。而岭回归可以通过引入正则化项来缓解多重共线性问题，并且可以减小模型的方差。

总的来说，逻辑回归主要用于分类问题，输出概率值；岭回归主要用于预测问题，输出连续型变量。逻辑回归通过逻辑函数建立线性关系和概率之间的映射，而岭回归通过正则化控制模型复杂度并处理多重共线性。