【逻辑回归对比分析】：逻辑回归与线性回归的区别与联系

# 1. 介绍逻辑回归与线性回归

在机器学习领域，逻辑回归和线性回归是两种经典且常用的回归模型。逻辑回归主要应用于分类问题，通过计算样本属于某个类别的概率来进行分类预测；而线性回归则用于建立特征与连续数值目标之间的关系。逻辑回归是一种广义线性模型，而线性回归是一种线性模型。它们在训练过程和损失函数上有所不同，但在某些方面又有相似之处。通过深入了解它们的原理和区别，可以更好地选择合适的模型应用于不同的场景。

# 2.1 线性回归原理解析

线性回归是一种基本的回归分析方法，用于研究自变量和因变量之间的线性关系。在这一部分，我们将深入探讨线性回归的原理，包括模型基础、最小二乘法和损失函数。

### 2.1.1 线性回归模型

线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，即：
$$ y = β_0 + β_1x_1 + β_2x_2 + ... + β_nx_n + ε $$
其中，$y$是因变量，$x$是自变量，$β$是回归系数，$ε$是误差项。通过最小化误差的方法拟合出最优的回归系数，从而构建线性模型。

### 2.1.2 最小二乘法

最小二乘法是线性回归中常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值的残差平方和来确定回归系数。具体而言，就是找到一组系数，使得残差的平方和最小化。

# 最小二乘法求解线性回归
import numpy as np
from numpy.linalg import inv

# 构造设计矩阵X和因变量y
X = np.array([[1, 2], [1, 3], [1, 4]])
y = np.array([3, 4, 5])

# 计算回归系数
beta = inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)
print(f'回归系数为: {beta}')

### 2.1.3 损失函数

在线性回归中，常用的损失函数是均方误差（MSE），即预测值与真实值之间的平方差的均值。损失函数的最小化是模型训练的核心目标。

# 计算均方误差
y_pred = X.dot(beta)
MSE = np.mean((y - y_pred)**2)
print(f'MSE为: {MSE}')

通过以上内容，我们了解了线性回归模型的基本原理，最小二乘法的参数估计和损失函数的计算方法。在下一节，我们将探讨线性回归的应用场景。

# 3. 逻辑回归基础

逻辑回归作为一种分类算法，在机器学习领域中应用广泛。本章将介绍逻辑回归的基础知识，包括原理简介、逻辑函数等相关内容。

### 3.1 逻辑回归原理简介

逻辑回归是一种广义线性模型，用于解决二分类问题。通过对数据进行拟合，逻辑回归可以预测某个事件发生的概率。接下来我们将深入解析逻辑回归的基本原理。

#### 3.1.1 逻辑回归模型概述

逻辑回归模型假设因变量服从伯努利分布（0和1的分布），通过逻辑函数将自变量的线性组合转换为概率输出。其数学表达式可表示为：

P(y=1|X) = \frac{1}{1 + e^{-(WX + b)}}

其中，$P(y=1|X)$ 表示在给定输入 $X$ 的情况下输出 $y=1$ 的概率，$W$ 和 $b$ 分别为模型的权重和偏置。

#### 3.1.2 逻辑函数

逻辑函数（Logistic Function）是逻辑回归模型中使用的激活函数，也称为 Sigmoid 函数。其数学表达式为：

g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}

Sigmoid 函数将任意实数值映射到 [0,1] 之间，具有平滑的特性，并且易于求导。逻辑回归模型通过 Sigmoid 函数将