动态规划:最长上升子序列
时间: 2023-10-31 20:43:51 浏览: 39
最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence,简称 LIS)问题是指给定一个序列,找到其中最长的严格递增子序列。
例如,对于序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],最长上升子序列为 [2, 5, 7, 101],长度为 4。
动态规划算法是解决 LIS 问题的常用方法。设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。则有状态转移方程:
dp[i] = max(dp[j] + 1),其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]
即对于每个元素 i,遍历其之前的所有元素 j,如果 nums[j] < nums[i],则说明可以将 i 加入以 j 结尾的 LIS 中,从而得到以 i 结尾的 LIS。取所有可能的 LIS 长度的最大值即为所求。
最终答案为所有 dp[i] 中的最大值。时间复杂度为 O(n^2)。
相关问题
1759:最长上升子序列
问题:
给定一个整数序列,找到其中最长的上升子序列的长度。上升子序列是指对于任意的 i < j,序列中的第 i 个数字严格小于第 j 个数字。
回答:
要找到最长的上升子序列的长度,可以使用动态规划的方法。定义一个长度为 n 的数组 dp,dp[i] 表示以第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度。初始化 dp 数组的每个元素为 1。然后从左到右遍历数组,对于每个位置 i,再从 0 到 i-1 的范围内寻找比 nums[i] 小的数字 nums[j],更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。最后返回 dp 数组中的最大值即可。
以下是使用 Python 实现的代码示例:
```python
def lengthOfLIS(nums):
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(n):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
```
动态规划求最长上升子序列
最长上升子序列(LIS)是一个非常重要的问题,它在许多应用中都有广泛的应用,如数据压缩、图形识别、生物信息学等领域。下面是用动态规划求解最长上升子序列的一种常见方法。
定义状态:设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。
状态转移方程:对于第 i 个元素,我们需要找到前面比它小的元素中,以其为结尾的最长上升子序列长度最大的那个元素 j,然后在这个基础上加上它本身就是以 i 为结尾的最长上升子序列的长度了,即 dp[i]=max{dp[j]+1},其中 j<i 且 a[j]<a[i]。
最终答案:最长上升子序列的长度就是 dp 数组中的最大值,即 LIS=max{dp[i]}。
下面是一个示例程序实现:
```python
def LIS(nums):
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[j] < nums[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
```
其中 nums 是一个数组,表示待求解的最长上升子序列。程序的时间复杂度为 O(n^2),空间复杂度为 O(n)。