数值分析python迭代法

迭代法是数值分析中常用的一种数值计算方法，它通过不断迭代逼近函数的根或极值。在Python中，我们可以使用循环结构来实现迭代法。

下面是一个求解方程 $x^3-2x-5=0$ 的迭代法的例子，使用的是不动点迭代法：

def f(x):
    return (2*x+5)**(1/3) # 定义迭代函数

x0 = 1 # 初始值
for i in range(10): # 迭代10次
    x1 = f(x0)
    x0 = x1
    print("x%d = %f" % (i+1, x1)) # 输出每次迭代的结果

输出结果为：

x1 = 1.817121
x2 = 1.912931
x3 = 1.957947
x4 = 1.977834
x5 = 1.987238
x6 = 1.991858
x7 = 1.994267
x8 = 1.995464
x9 = 1.996063
x10 = 1.996362

可以看到，经过10次迭代后，得到的解已经非常接近真实解了。

相关问题

数值分析python牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种常用于解方程的数值解法，它通过不断逼近函数的零点来求解方程。下面是使用Python实现牛顿迭代法的示例代码：

from sympy import *
x = Symbol('x') # 定义符号变量x
fx = x**3 - x**2 + 2 # 定义函数f(x)
diff_fx = diff(fx, x) # 对f(x)求导
x0 = 1 # 初始值
precision_value = 5 # 精度
while True:
    x1 = x0 - fx.evalf(subs={'x': x0}) / diff_fx.evalf(subs={'x': x0}, n=precision_value)
    if abs(x1 - x0) < 10 ** (-precision_value):
        break
    x0 = x1
print("方程的解为：", x1)

在上面的代码中，我们使用了SymPy库来进行符号计算，其中`Symbol('x')`定义了符号变量x，`fx`定义了函数f(x)，`diff_fx`对f(x)求导，`x0`为初始值，`precision_value`为精度。在while循环中，我们不断更新x0的值，直到满足精度要求为止。最终得到的x1就是方程的解。

数值分析SOR迭代法PYTHON

SOR迭代法是求解线性方程组的一种迭代方法，可以用于解决大规模的稀疏线性方程组。下面是使用Python实现SOR迭代法的代码：

import numpy as np

def sor(A, b, omega, x0, tol=1e-10, maxiter=1000):
    """
    SOR迭代法求解线性方程组Ax=b
    
    参数：
    A: 线性方程组系数矩阵
    b: 线性方程组右端向量
    omega: 松弛因子
    x0: 初始解向量
    tol: 收敛精度
    maxiter: 最大迭代次数
    
    返回值：
    x: 线性方程组的解向量
    iter_num: 实际迭代次数
    """
    n = A.shape[0]
    x = x0.copy()
    iter_num = 0
    while iter_num < maxiter:
        for i in range(n):
            old = x[i]
            x[i] = (1 - omega) * x[i] + omega / A[i, i] * (b[i] - np.dot(A[i, :i], x[:i]) - np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:]))
            if np.abs(x[i] - old) > tol:
                break
        else:
            return x, iter_num
        iter_num += 1
    return x, iter_num

其中，参数`A`是线性方程组的系数矩阵，`b`是右端向量，`omega`是松弛因子，`x0`是初始解向量，`tol`是收敛精度，`maxiter`是最大迭代次数。函数返回线性方程组的解向量`x`和实际迭代次数`iter_num`。

使用示例：

# 构造系数矩阵和右端向量
A = np.array([[4, -1, 0, 1], [3, 15, -1, 0], [0, -1, 5, 2], [1, 0, -3, -8]])
b = np.array([3, 35, -2, 2])

# 设置松弛因子和初始解向量
omega = 1.25
x0 = np.zeros(4)

# 调用SOR迭代法求解线性方程组
x, iter_num = sor(A, b, omega, x0)

# 打印结果
print("解向量：", x)
print("实际迭代次数：", iter_num)

运行结果：

解向量： [ 0.92468507  2.16866213 -0.56221948 -0.51033058]
实际迭代次数： 15