如何用完整Python代码实现数值分析中的超松弛迭代法？

超松弛迭代法是一种用于求解大型线性系统的数值算法，尤其适用于那些直接求解困难的问题。在Python中，我们可以使用NumPy库来进行矩阵运算，并结合循环结构实现该方法。以下是一个简单的例子：

import numpy as np

def over_relaxation(A, b, x0, relaxation_factor=1.5, max_iter=1000):
    """
    超松弛迭代法
    :param A: 系统的系数矩阵 (numpy array)
    :param b: 目标向量 (numpy array)
    :param x0: 初始猜测解 (numpy array)
    :param relaxation_factor: 超松弛因子，默认值为1.5
    :param max_iter: 最大迭代次数
    :return: 求得的近似解 (numpy array)
    """
    x = x0.copy()
    for _ in range(max_iter):
        # 更新x的值，利用超松弛因子
        x_new = relaxation_factor * A @ x + (1 - relaxation_factor) * b
        if np.allclose(x, x_new):  # 如果新旧解足够接近，停止迭代
            break
        x = x_new
    return x

# 示例：求解 Ax = b 的问题
A = np.array([[4, -1], [1, 3]])
b = np.array([8, 12])
x0 = np.zeros_like(b)  # 初始化零向量作为猜测解
solution = over_relaxation(A, b, x0)

print(f"最终近似解: {solution}")