矩阵连乘问题动态规划

矩阵连乘问题是指给定n个矩阵，求它们相乘的最小代价。这个问题可以使用动态规划来解决。具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵相乘的最小代价。那么状态转移方程为：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j])

其中p[i-1]表示第i个矩阵的行数，p[k]表示第k个矩阵的列数，p[j]表示第j个矩阵的列数。k的范围是从i到j-1。

最终的答案就是dp[n]。

相关问题

矩阵连乘问题动态规划

矩阵连乘问题是指在计算多个矩阵相乘的结果时，如何安排乘法顺序，使得计算的总次数最少。这个问题可以使用动态规划来解决。

设矩阵链为 $\{A_1, A_2, \cdots, A_n\}$，其中矩阵 $A_i$ 的维度为 $p_{i-1} \times p_i$，$1 \leq i \leq n+1$，并设 $m_{i,j}$ 表示计算矩阵链 $\{A_i, A_{i+1}, \cdots, A_j\}$ 的最少乘法次数，则有以下递推式：

$$
m_{i,j} = \left\{
\begin{aligned}
&0, && i=j \\
&\min\limits_{i\leq k<j} \left\{ m_{i,k} + m_{k+1,j} + p_{i-1}p_kp_j \right\}, && i<j
\end{aligned}
\right.
$$

其中，当 $i=j$ 时，矩阵链中只有一个矩阵，不需要计算，乘法次数为 $0$；当 $i<j$ 时，要计算矩阵链 $\{A_i, A_{i+1}, \cdots, A_j\}$ 的最小乘法次数，可以将其拆分为两个子问题：计算矩阵链 $\{A_i, A_{i+1}, \cdots, A_k\}$ 的最小乘法次数，以及计算矩阵链 $\{A_{k+1}, A_{k+2}, \cdots, A_j\}$ 的最小乘法次数，其乘法次数为两者之和再加上两个矩阵相乘的乘法次数 $p_{i-1}p_kp_j$。

最终，矩阵链 $\{A_1, A_2, \cdots, A_n\}$ 的最小乘法次数就是 $m_{1,n}$。

下面是矩阵连乘问题的动态规划实现（使用 Python 语言）：

def matrix_chain_order(p):
    n = len(p) - 1  # 矩阵个数
    m = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]  # m[i][j] 表示计算矩阵链 {Ai, Ai+1, ..., Aj} 的最少乘法次数
    s = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]  # s[i][j] 表示计算矩阵链 {Ai, Ai+1, ..., Aj} 最优的断点 k

    for l in range(2, n+1):  # 计算长度为 l 的矩阵链
        for i in range(1, n-l+2):
            j = i + l - 1
            m[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j):
                q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]
                if q < m[i][j]:
                    m[i][j] = q
                    s[i][j] = k

    return m, s

# 示例
p = [30, 35, 15, 5, 10, 20, 25]
m, s = matrix_chain_order(p)
print(m[1][len(p)-1])  # 输出最小乘法次数

输出结果为 $15125$，表示计算矩阵链 $\{A_1, A_2, \cdots, A_6\}$ 的最少乘法次数为 $15125$。

矩阵连乘问题动态规划代码c++

### 动态规划解决矩阵链乘法问题

对于给定的一系列矩阵，计算最小化所需标量乘法次数的最佳括号方案是经典的动态规划问题。下面展示的是利用动态规划算法来求解这一问题的C++实现。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>

using namespace std;

// Function to perform Matrix Chain Multiplication using Dynamic Programming.
int matrixChainOrder(vector<int> p, int n) {
    vector<vector<int>> m(n, vector<int>(n));
    
    // Cost is zero when multiplying one matrix.
    for (int i = 1; i < n; ++i)
        m[i][i] = 0;
        
    // L is the chain length of matrices being considered.
    for (int L = 2; L < n; ++L) {
        for (int i = 1; i < n - L + 1; ++i) {
            int j = i + L - 1;
            if (i >= j) continue;
            
            m[i][j] = INT_MAX;
            for (int k = i; k < j; ++k) {
                int q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1]*p[k]*p[j];
                
                if (q < m[i][j]) {
                    m[i][j] = q;
                }
            }
        }
    }

    return m[1][n-1];
}

void printOptimalParens(const vector<vector<int>>& s, int i, int j) {
    if (i == j) cout << "A[" << i << "]";
    else {
        cout << "(";
        printOptimalParens(s, i, s[i][j]);
        printOptimalParens(s, s[i][j]+1, j);
        cout << ")";
    }
}

int main() {
    // Dimensions of matrices are stored as follows:
    // For three matrices A(30×35), B(35×15), C(15×5),
    // dimensions would be represented by array {30, 35, 15, 5}.
    vector<int> dims{30, 35, 15, 5, 10};
    int size = dims.size();
    
    cout << "Minimum number of multiplications needed: "
         << matrixChainOrder(dims, size) << endl;
         
    return 0;
}

上述代码实现了两个主要功能：`matrixChainOrder()` 函数负责构建最优成本表并返回最低代价；而 `printOptimalParens()` 则用于打印出最佳加括方式[^1]。