java矩阵连乘动态规划_动态规划之矩阵连乘

矩阵连乘是一个经典的动态规划问题，其目标是找到一种最优的方式来连乘一系列矩阵。假设有 $n$ 个矩阵 $A_1, A_2, ..., A_n$，其维度分别为 $p_0\times p_1, p_1 \times p_2, ..., p_{n-1}\times p_n$，则这 $n$ 个矩阵的连乘可以表示为：$A_1A_2...A_n$。

矩阵连乘的关键在于找到一种最优的计算顺序，使得乘法次数最少。假设 $m_{i,j}$ 表示计算 $A_iA_{i+1}...A_j$ 所需的最少乘法次数，则可以得到以下递推式：

$$
m_{i,j}=\begin{cases}
0, & i=j\\
\min\limits_{i\leq k<j}\{m_{i,k}+m_{k+1,j}+p_{i-1}p_kp_j\}, & i<j
\end{cases}
$$

其中 $p_{i-1}p_kp_j$ 表示计算 $A_iA_{i+1}...A_j$ 所需的乘法次数。这个式子的意思是，将连乘分成两部分，从 $i$ 到 $k$ 和从 $k+1$ 到 $j$，然后将两部分的最小乘法次数加起来，并加上从 $i$ 到 $j$ 的乘法次数。

最终的答案即为 $m_{1,n}$。为了得到最优计算顺序，需要记录每个 $m_{i,j}$ 对应的最小乘法次数是从哪个位置 $k$ 分割得到的。

下面是 Java 代码实现：

public static int matrixChainOrder(int[] p) {
    int n = p.length - 1;
    int[][] m = new int[n + 1][n + 1];
    int[][] s = new int[n + 1][n + 1];

    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            m[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                int q = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
                if (q < m[i][j]) {
                    m[i][j] = q;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }

    return m[1][n];
}

其中，$p$ 表示各个矩阵的维度，例如 $p=[10, 20, 30]$ 表示有三个矩阵，其维度分别为 $10\times20, 20\times30, 30\times x$。函数返回的是计算这些矩阵的最小乘法次数。