描述LTI离散系统的差分方程如下，请编程并绘出该系统在0~50单位时间范围内单位脉冲响应和单位阶跃响应图。 3y(k)- 4y(k- 1)+y(k- 2) =f(k)

这是一个二阶线性常系数因果离散系统（Linear Time-Invariant Discrete System），描述了系统输出\( y(k) \)对输入\( f(k) \)的动态响应。系统的差分方程是：

\[ 3y(k) - 4y(k-1) + y(k-2) = f(k) \]

对于单位脉冲响应（Impulse Response），初始条件应设置为 \( y(-1) = y(-2) = 0 \)，因为单位脉冲在瞬间输入，而前两个时刻的输出都是零。

对于单位阶跃响应（Step Response），初始条件通常为 \( y(-1) = y(-2) = 0 \)，并且由于阶跃函数在 \( k=0 \) 时突然上升到1，所以 \( y(0) = 1 \)。

在实际编程中，这个过程可能会涉及数值积分或者使用数学库来求解。例如，在Python的`scipy.signal`库中，可以使用`ztransient`函数计算零状态响应（ZSR），然后通过`impulse`函数绘制单位脉冲响应，`step`函数绘制单位阶跃响应。下面是一个简化的步骤：

import numpy as np
from scipy.signal import zpk2ss, step, impulse

# 系统的零极点
zeros, poles, gain = [1], [-2, 3/4], 1

# 转换为状态空间模型
A, B, C, D = zpk2ss(zeros, poles)

# 计算零输入响应和零状态响应
t = np.linspace(0, 50, num=500)
zi_response = np.zeros_like(t)
zs_response = np.exp(A*t).dot(B)  # 零状态响应

# 绘制单位脉冲响应和单位阶跃响应
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, impulse(C, t), label='Unit Impulse Response')
plt.legend()
plt.ylabel('Response')

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, step(C, A, B, t), label='Unit Step Response')
plt.plot(t[1:], zi_response[1:], 'k--', label='Zero Input Response')
plt.plot(t[1:], zs_response[1:], 'r:', label='Zero State Response')
plt.legend()
plt.xlabel('Time (unit)')
plt.ylabel('Response')

plt.tight_layout()

请注意，这只是一个简化的示例，并未包含完整的误差处理。在实际应用中，需要根据具体的编程环境和需求进行调整。运行上述代码后，你会得到系统在指定时间范围内的响应图形。