在求解线性方程组时，Gauss消去法、Doolittle分解和追赶法各自的优势与局限性是什么？并请比较这三种方法的计算效率。

为了解决线性方程组并评估不同方法的优势与局限性，我们可以参考《第七章：线性方程组直接解法详解与计算复杂度》。这本书的第七章详细讲解了各种直接解法，包括Gauss消去法、Doolittle分解和追赶法，以及它们的计算效率。

参考资源链接：[第七章：线性方程组直接解法详解与计算复杂度](https://wenku.csdn.net/doc/7d9gtvxi2k?spm=1055.2569.3001.10343)

Gauss消去法是解决线性方程组的常用方法。它通过前向消去和回代两个步骤来求解线性方程组。Gauss消去法的一个显著优势是它的直观和易于实现。然而，它在处理含有多个方程的大型系统时，计算复杂度较高，且易受到舍入误差的影响，特别是在矩阵接近奇异时。

Doolittle分解是一种更结构化的Gauss消去法，它将系数矩阵分解为L（下三角矩阵）和U（上三角矩阵），即A=LU。这种方法的优势在于它通过分解减少了每次迭代的计算量，并且可以利用已有的LU分解结果来快速求解多个具有相同系数矩阵但不同常数项的线性方程组。其局限性主要在于对初始矩阵结构的依赖，比如对于非方阵或奇异矩阵，可能无法进行有效的分解。

追赶法是Gauss消去法的一个变种，它特别适用于三对角矩阵，常用于求解偏微分方程的数值解。追赶法的优势在于其高度的计算效率，尤其适用于大规模问题，并且相对稳定。局限性主要在于它仅适用于特定类型的矩阵，对于非三对角矩阵，它的优势就无法发挥。

从计算效率的角度来看，追赶法在处理三对角矩阵时通常比标准的Gauss消去法快，而Doolittle分解则在需要多次求解具有相同系数矩阵的线性方程组时显示出其计算效率的优势。然而，对于大型系统，这些方法可能都不如迭代方法高效，迭代方法如共轭梯度法或预处理技术，能够在不需要矩阵显式分解的情况下有效逼近解。

对于希望深入学习和比较这些方法的读者，强烈建议阅读《第七章：线性方程组直接解法详解与计算复杂度》，它不仅深入分析了每种方法的理论基础，还提供了计算复杂度的详细比较和实际应用的案例分析。

参考资源链接：[第七章：线性方程组直接解法详解与计算复杂度](https://wenku.csdn.net/doc/7d9gtvxi2k?spm=1055.2569.3001.10343)