请解释Gauss消去法、Doolittle分解和追赶法在解决线性方程组时的优势与局限性，并比较它们的计算效率。

在解决线性方程组的问题上，Gauss消去法、Doolittle分解和追赶法都属于直接解法的范畴，它们在理论和实际应用中都有独特的优势和局限性，以及不同的计算效率。

参考资源链接：[第七章：线性方程组直接解法详解与计算复杂度](https://wenku.csdn.net/doc/7d9gtvxi2k?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，Gauss消去法是一种基础的直接解法，其核心思想是通过行变换将线性方程组的系数矩阵化为行最简形，然后进行回代求解未知数。该方法的优势在于其算法简单，容易实现，且适用于任意线性方程组。但是，Gauss消去法的计算效率并不总是最优的，特别是在处理大规模方程组时，它的计算复杂度较高，且容易受到舍入误差的影响。

Doolittle分解法则是将系数矩阵A分解为LU两个矩阵的乘积形式，即A=LU，然后先解Ly=b，再解Ux=y，从而分别得到原线性方程组的解。这种方法的优势在于减少了每次迭代的计算量，并且可以通过选择合适的主元来提高数值稳定性。然而，Doolittle分解需要进行额外的分解步骤，这在一定程度上增加了计算时间，尽管总体上比普通的Gauss消去法要高效。

追赶法是一种特殊的Gauss消去法，它主要用于处理三对角矩阵的线性方程组。该方法的优势在于能够显著减少计算量，特别是在系数矩阵为三对角形式时，它能够以O(n)的时间复杂度高效求解。但它的局限性在于只适用于特定形式的矩阵，对于非三对角矩阵则无法应用。

从计算效率的角度来看，追赶法在特定条件下是最高效的，因为它避免了许多不必要的计算步骤。Doolittle分解法则在普通Gauss消去法的基础上提高了计算效率，并且通过矩阵分解减少了舍入误差。而普通的Gauss消去法虽然适用于所有线性方程组，但它的效率相对较低，尤其在大规模问题中。

为了深入理解和掌握这些方法，建议阅读《第七章：线性方程组直接解法详解与计算复杂度》一书。该书详细讨论了这些直接方法的理论基础、算法实现以及计算复杂度分析，能够帮助你更好地评估和选择适合问题的解法，进而提高求解线性方程组的效率。

参考资源链接：[第七章：线性方程组直接解法详解与计算复杂度](https://wenku.csdn.net/doc/7d9gtvxi2k?spm=1055.2569.3001.10343)