正规方程求解线性回归

正规方程是一种用于求解线性回归问题的方法。它通过将代价函数对参数θ的偏导数等于零，来求得代价函数最小时的参数值。具体而言，正规方程首先定义代价函数，然后将其对参数θ进行偏导数运算，令偏导数等于零，最后解出参数θ的值。

使用正规方程求解线性回归可以避免使用梯度下降等迭代算法，直接得到参数θ的解析解。对于简单的线性回归问题，正规方程是一种方便且直观的求解方法。

要使用正规方程求解线性回归，需要以下几个步骤：
1. 定义代价函数：线性回归的代价函数通常采用均方误差(Mean Square Error, MSE)。它衡量了模型预测值与实际值之间的差异。代价函数的定义为所有样本预测值与实际值之差的平方和的一半。
2. 求解偏导数：将代价函数对参数θ进行偏导数运算，得到一个关于θ的方程。
3. 令偏导数等于零：将求得的偏导数方程等于零，得到一个关于θ的方程。
4. 解方程：解出关于θ的方程，得到最优的参数θ值。

需要注意的是，正规方程在求解过程中需要计算矩阵的逆，因此当矩阵不可逆时，无法使用正规方程求解线性回归。此时可以考虑使用岭回归或Lasso回归等方法来解决。

总结起来，正规方程是一种通过最小化代价函数的解析解来求解线性回归的方法。它是一种直观且方便的求解方法，但在某些情况下可能无法使用。

相关问题

正规方程求解线性回归python

正规方程是一种求解线性回归的方法，它通过求解最小二乘问题，直接得到了线性回归的参数。在Python中，可以使用numpy库中的线性代数函数来计算正规方程。

下面是使用正规方程求解线性回归的步骤：
1. 导入必要的库：import numpy as np
2. 定义正规方程函数：def normalEqn(X, y): theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y return theta
3. 调用正规方程函数计算线性回归参数：final_theta = normalEqn(X, y)

其中X是特征矩阵，y是目标变量向量，final_theta是计算得到的线性回归参数。

正规方程法求解线性回归

线性回归问题是一种最小二乘问题，可以使用正规方程法求解。假设我们有以下的训练数据：

$X = \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n} \end{bmatrix}$

$y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix}$

其中，$X$ 是 $m \times n$ 的矩阵，$y$ 是 $m \times 1$ 的向量，$m$ 是训练样本的数量，$n$ 是特征的数量。

我们需要求解一个线性模型 $h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \cdots + \theta_nx_n$，使得 $h_\theta(x)$ 尽可能地接近 $y$。我们定义误差函数为 $J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2$，其中 $x^{(i)}$ 是第 $i$ 个样本的特征向量。

我们需要求解的是最小化 $J(\theta)$ 的参数向量 $\theta$。我们可以通过求偏导数的方式，得到一个针对 $\theta$ 的闭式解，也就是正规方程：

$\theta = (X^TX)^{-1}X^Ty$

其中，$X^TX$ 是 $n \times n$ 的矩阵，$X^Ty$ 是 $n \times 1$ 的向量，$(X^TX)^{-1}$ 是 $n \times n$ 的逆矩阵。

最后，我们可以使用求得的 $\theta$，来预测新的样本的输出值。预测公式为：$y_{new} = \theta_0 + \theta_1x_{new,1} + \theta_2x_{new,2} + \cdots + \theta_nx_{new,n}$。