正规方程求解多变量线性回归的公式是怎样的

对于多变量线性回归问题，我们可以使用正规方程方法求解模型的最优参数。具体而言，假设我们有 $m$ 个训练样本，每个样本有 $n$ 个特征，我们可以将所有的训练样本表示为一个 $m \times n$ 的矩阵 $X$，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。同时，我们还有一个 $m \times 1$ 的向量 $y$，表示每个样本的目标值。

则多变量线性回归的正规方程解为：

$$\theta = (X^T X)^{-1} X^T y$$

其中，$\theta$ 是一个 $n \times 1$ 的向量，表示模型的参数向量。需要注意的是，$X^T X$ 必须是一个可逆矩阵，否则无法求逆。在实际应用中，如果 $X^T X$ 不可逆，我们可以通过使用伪逆来求解模型参数。

使用正规方程求解多变量线性回归的优点是，它可以直接得到最优参数，无需进行迭代优化，因此速度比梯度下降等迭代算法快。同时，正规方程还可以避免梯度下降等迭代算法中可能出现的局部最优解问题。

需要注意的是，如果特征之间存在较大的相关性，那么 $X^T X$ 可能会接近于奇异矩阵，导致求逆之后数值不稳定。为了避免这个问题，可以使用特征缩放等方法来减小特征之间的相关性。

相关问题

正规方程求解线性回归python

正规方程是一种求解线性回归的方法，它通过求解最小二乘问题，直接得到了线性回归的参数。在Python中，可以使用numpy库中的线性代数函数来计算正规方程。

下面是使用正规方程求解线性回归的步骤：
1. 导入必要的库：import numpy as np
2. 定义正规方程函数：def normalEqn(X, y): theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y return theta
3. 调用正规方程函数计算线性回归参数：final_theta = normalEqn(X, y)

其中X是特征矩阵，y是目标变量向量，final_theta是计算得到的线性回归参数。

python线性回归 正规方程法

线性回归是一种常用的机器学习算法，用于建立连续目标变量与一个或多个自变量之间的线性关系。正规方程法是一种求解线性回归问题的方法，它通过对模型参数进行求导并令导数为零来获得最优解。

下面是使用Python进行线性回归正规方程法的示例代码：

import numpy as np

# 输入特征矩阵 X 和目标变量向量 y
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]])
y = np.array([2, 3, 4, 5])

# 使用正规方程法求解线性回归参数
theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)

# 打印回归参数
print("回归参数：", theta)

运行上述代码，输出结果会显示线性回归的参数值。

请注意，正规方程法在样本数量较少时效果较好，但在样本数量较大时可能会受到计算复杂度的限制。在实际应用中，可以结合其他优化算法如梯度下降来解决大规模样本的线性回归问题。