格拉姆角场python代码

在Python中，格拉姆角场（Grammian）通常用于处理线性代数中的特征值问题，特别是矩阵的秩和奇异值分解（SVD）。格拉姆矩阵是由原矩阵与其转置相乘得到的，而角场则涉及到矩阵的秩变化情况。以下是一个简单的示例，展示了如何在Python中计算并可视化一个矩阵的格拉姆角场：

import numpy as np
from scipy.linalg import svd
import matplotlib.pyplot as plt

def gram_schmidt_field(matrix, num_points=100):
    # 计算格拉姆矩阵
    gram = matrix @ matrix.T
    # SVD分解
    u, s, vh = svd(gram)
    
    # 创建网格
    x, y = np.meshgrid(np.linspace(-1, 1, num_points), np.linspace(-1, 1, num_points))
    xy = np.stack([x.flatten(), y.flatten()])

    # 将二维点映射到特征向量空间
    projected_points = u @ xy

    # 检查每个点对应的秩
    ranks = np.linalg.matrix_rank(projected_points, tol=1e-6, hermitian=True)

    # 归一化并绘制
    scaled_ranks = (ranks - ranks.min()) / (ranks.max() - ranks.min())
    plt.imshow(scaled_ranks.reshape(num_points, num_points), cmap='hot', extent=(-1, 1, -1, 1))
    plt.xlabel('Column Index')
    plt.ylabel('Row Index')
    plt.title('Gauss-Newton Field for Matrix')
    plt.colorbar()
    plt.show()

# 示例用法
matrix = np.random.rand(10, 10)  # 假设这是一个10x10的随机矩阵
gram_schmidt_field(matrix)

这个代码首先计算给定矩阵的格拉姆矩阵，然后通过奇异值分解（SVD）找到它的左奇异向量。之后，它将二维坐标点映射到这些奇异向量的空间，并计算每个点对应的小秩区域，最终可视化为热力图。

相关问题：
1. SVD在格拉姆角场中起到了什么作用？
2. 如何理解矩阵秩在格拉姆角场中的意义？
3. 在实际问题中，使用格拉姆角场有什么应用场景？