找出所有在10000以内与10000互质的正整数

找出所有小于10000且与10000互质的正整数，意味着寻找的是10000的因数以外的所有数，因为除了1和它本身，它的因子都会构成与10000有公约数的情况。由于10000是一个较大数字，直接枚举计算会非常耗时。我们可以采用更高效的算法，如欧几里得算法（辗转相除法），判断两个数是否互质。

首先，我们知道1到9999之间，每一个数都可以看作10000除以某个数的余数。例如，6753是10000除以148的余数。对于这样的每一对商和余数，如果余数不是0，并且余数乘以148不超过10000，那么这个余数就与10000互质。我们可以编写一个程序，遍历这个过程，找到符合条件的数。

以下是Python代码的一个简单示例：

def find_coprimes(n):
    coprimes = []
    for i in range(2, n):
        if gcd(i, n) == 1:  # gcd代表最大公约数
            coprimes.append(i)
    return coprimes

# 计算10000的最大公约数函数
def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

coprimes_10000 = find_coprimes(10000)

运行上述代码后，`coprimes_10000`列表将包含所有小于10000且与10000互质的正整数。

相关问题

找出所有与10000互质的正整数，这些数有什么特殊的性质或如何找到它们？

找出所有与10000互质的正整数意味着寻找那些除了公因数1之外，没有其他共同因子的数。这样的数字通常被称为10000的“朋友”或“相对质数”。1到10000之间的这类数可以通过欧几里得算法（辗转相除法）检查其与10000的最大公约数（GCD），如果最大公约数是1，那么这两个数就是互质的。

特殊性质包括：
1. 每隔6就有一个与10000互质的数，因为10000 = 2^4 * 5^4，这意味着每增加6（即加上2*5=10），就会消除一个因数，直到达到一个不包含10作为因子的新数。
2. 两个相邻的10000倍数之间只有一个数（即10001）与10000互质，因为更大的倍数都会包含相同的因子。

找到这些数的方法可以是编写程序循环遍历从1到10000的所有整数，并对每个数应用欧几里得算法来检验是否互质。例如，在Python中可以这样做：

def find_coprimes(n):
    coprimes = []
    for num in range(1, n+1):
        if gcd(num, 10000) == 1:
            coprimes.append(num)
    return coprimes

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

coprimes_with_10000 = find_coprimes(10000)

输出比n小的且与n互质的正整数个数。

欧拉函数可以计算比n小且与n互质的正整数的个数，可以使用以下公式：

φ(n) = n × (1 - 1/p1) × (1 - 1/p2) × ... × (1 - 1/pk)

其中，p1, p2, ..., pk 是 n 的质因数。

因此，可以使用以下 Python 代码计算比 n 小且与 n 互质的正整数的个数：

def phi(n):
    result = n
    i = 2
    while i * i <= n:
        if n % i == 0:
            while n % i == 0:
                n //= i
            result -= result // i
        i += 1
    if n > 1:
        result -= result // n
    return result

n = int(input("请输入一个正整数："))
print("比", n, "小且与", n, "互质的正整数个数为：", phi(n))

例如，输入 n = 10，输出结果为：

请输入一个正整数：10
比 10 小且与 10 互质的正整数个数为： 4

因为比 10 小且与 10 互质的正整数为 1, 3, 7, 9，共计 4 个。