马尔可夫决策过程寻路、迷宫

### 使用马尔可夫决策过程实现迷宫求解

#### 定义环境模型
为了应用马尔可夫决策过程(MDP)，首先需要定义迷宫作为离散状态空间。假设迷宫是一个二维网格，其中每个格子代表一个可能的状态。对于任意给定的位置$(x, y)$，可以有四个基本的动作：向上、向下、向左和向右移动。

如果当前位置处于边界，则尝试离开边界的行动不会改变位置；遇到障碍物时同样如此。当到达目标终点时，可以获得正奖励，而在其他情况下通常设置负的小额即时奖励来鼓励尽快找到出路[^1]。

#### 初始化参数
- **折扣因子 $\gamma$**: 表示未来奖励的重要性程度，默认取值范围为 $(0, 1]$。
- **初始策略 $\pi(s)$**: 可能随机指定或基于某些启发式规则设定。
- **价值函数 $V(s)$ 和 动作价值函数 $Q(s,a)$**: 初始设为零或其他预估数值。

#### 更新规则
采用贝尔曼期望方程更新动作价值函数：

$$
Q(s_t, a_t) \leftarrow (1-\alpha) Q(s_t, a_t)+\alpha[r_{t+1}+\gamma \max _{a^{\prime}} Q(s_{t+1}, a^{\prime})]
$$

这里$\alpha$表示学习率，控制新旧信息融合的比例[$^{1}$]。

#### 实现伪代码

import numpy as np

def mdp_maze_solver(maze, start, goal, gamma=0.9, alpha=0.1, episodes=1000):
    rows, cols = maze.shape
    
    # Initialize Q-table with zeros or small random values.
    q_table = np.zeros((rows * cols, 4))
    
    for episode in range(episodes):
        state = start
        
        while True:
            if all([np.isnan(x) for x in q_table[state]]): 
                action = np.random.choice(4)
            else:
                action = np.nanargmax(q_table[state])
            
            next_state, reward = take_action(state, action)

            old_value = q_table[state, action]
            next_max = np.nanmax(q_table[next_state])

            new_value = ((1 - alpha) * old_value +
                         alpha * (reward + gamma * next_max))

            q_table[state, action] = new_value
            
            if is_goal(next_state, goal):
                break
                
            state = next_state
            
    return q_table


def take_action(current_position, direction):
    """Simulate taking an action and returning the resulting position."""
    pass  # Implementation depends on specific environment rules.


def is_goal(position, target):
    """Check whether we have reached our destination."""
    return tuple(position) == tuple(target)


if __name__ == "__main__":
    # Example usage of MDP-based solver function here...